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Matrice (mathématiques)

Sommaire

1 Autres sens

1 Introduction
2 Notations
3 Additionner et multiplier les matrices
4 Applications linéaires en dimension finie, rang et transposition
5 Matrices carrées et définitions
6 Matrices réelles ou complexes particulières
7 Matrices à coefficients dans un anneau arbitraire
8 Matrice et graphe
9 Théorème de Jordan
10 Liens internes

Autres sens

En informatique, une matrice est un type de données, apparenté à un type tableau bidimensionnel.
Le terme est aussi utilisé dans d'autres domaines, voir matrice.

Introduction

En mathématiques, une matrice est un tableau rectangulaire de nombres appelés coefficients

Les matrices sont utiles pour représenter les coefficients des systèmes d'équations linéaires ou pour représenter les applications linéaires ; et dans ce dernier cas les matrices jouent le même rôle que les coordonnées d'un vecteur pour les applications linéaires.

Notations

Les lignes horizontales d'une matrice sont appelées lignes et les lignes verticales sont appelées colonnes. Une matrice qui a m lignes et n colonnes est appelée matrice de type (m, n) (ou plus brièvement une (m, n)-matrice). Par exemple la matrice suivante est une matrice de type (4, 3):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&1&5\end{pmatrix}$

Si m = n alors la matrice est dite carrée d'ordre n.

L'ensemble des matrices à coefficients dans un corps (ou anneau) K de type (m, n) se note en général $\mathcal M_{m,n}(\mathbb K)$ . L'ensemble des matrices carrées d'ordre n se note $\mathcal M_n(\mathbb K)$ .

Si une matrice est à coefficients réels (resp. complexes) alors la matrice est dite réelle (resp. complexe).

Considérons une matrice A,

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & & \vdots\\ \vdots & & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

La matrice se note aussi de manière plus condensée A=(a_ij). Le coefficient de la matrice A qui se trouve à l' intersection de la ième ligne et jème colonne est appelé le coefficient d' indice i, j de la matrice A. Celui-ci s' écrit donc a_ij. Pour notre premier exemple, A_2,3=7.

Additionner et multiplier les matrices

Si deux (m,n)-matrices A=(a_ij) et B=(b_ij) sont données, alors nous pouvons définir leur somme A + B comme la (m,n)-matrice (c_ij) obtenue en additionnant les coefficients termes à termes, i.e.,

pour tout i et j, c_ij=a_ij+b_ij

Par exemple

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

Si une matrice A=(a_ij) et un nombre λ sont donnés, alors nous pouvons définir le produit (externe) par un scalaire λA=(c_ij) par

pour tout i et j, c_ij= λa_ij.

Par exemple

$2 \begin{pmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\ 2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{pmatrix}$

Ces deux opérations munissent l'ensemble $\mathcal M_{mn}(\mathbb R)$ de toutes les matrices de type (m, n) à coefficients réels d'une structure d'espace vectoriel de dimension mn.

Nous pouvons définir le produit de deux matrices à condition que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde matrice. Les matrices sont dites dans ce cas de types compatibles. Si A=(a_ij) est une (m, n)-matrice (m lignes, n colonnes) et B=(b_ij) est une (n, p)-matrice (n lignes, p colonnes), alors leur produit AB=(c_ij) est une (m, p) matrice (m lignes, p colonnes) définie par

pour tout couple (i, j), c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+ ... + a_inb_nj

$c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ .

Par exemple

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{pmatrix}$

Cette multiplication a les propriétés suivantes:

pour toutes (k,m)-matrices A, (m,n)-matrices B et (n, p)-matrices C, (AB)C = A(BC) (« associativité »).
pour toutes (m, n)-matrices A et B, et (n, k) matrices C, (A + B)C = AC + BC («distributivité à gauche»).
pour toutes (m, n)-matrices A et B, et (k, m)-matrices C, C(A + B) = CA + CB («distributivité à droite»).

Pour les autres propriétés moins courantes de la multiplication des matrices, voir multiplication des matrices.

Applications linéaires en dimension finie, rang et transposition

Les matrices peuvent complètement représenter les applications linéaires en dimension finie, ... Pour toute application linéaire f : Rⁿ → R^m il existe une unique (m,n)-matrice A telle que

pour tout x=(x₁, x₂, ..., x_n) dans Rⁿ, en posant y=(y₁, y₂, ..., y_m)=f(x), on ait Y=AX.

$\left(o\grave{u} \ \ X= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{pmatrix} \ \ et \ \ Y= \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_m\\ \end{pmatrix}\right)$

Nous disons que la matrice A « représente » l'application linéaire f et est l'application canoniquement associée à f. Ici et dans la suite, nous identifierons Rⁿ avec l'ensemble des matrices colonnes ou (n, 1)-matrices. Maintenant si la (k, m)-matrice B représente une autre application linéaire g : R^m → R^k, alors l'application linéaire g o f est représentée par la matrice BA.

Le rang d'une matrice A est la dimension de l'image de l'application linéaire canoniquement associée à A.

La transposée d'une (m,n)-matrice A=(a_ij) est la (n, m)-matrice ^tA=(a'_ij) (aussi parfois notée A^T ou ^trA) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes, i.e.

pour tout couple (i, j), a'_ij = a_ji.

Si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors la matrice transposée ^tA représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales, voir espace dual.

Nous avons ^t (A + B)= ^t A + ^t B et ^t (AB) = ^t B ^tA.

Matrices carrées et définitions

Une matrice carrée est une matrice dont les nombres de lignes et de colonnes sont égaux. L'ensemble de toutes les (n, n)-matrices carrées, muni de l' addition et du produit des matrices a une structure d'anneau. À moins que n = 1, cet anneau n'est pas commutatif.

$\mathcal M_{n}(\mathbb R)$ l'anneau des matrices carrées réelles, est une algèbre unitaire associative,

de même $\mathcal M_{mn}(\mathbb C)$ l'anneau des matrices carrées complexes, est une algèbre associative.

La matrice unité ou matrice identité I_n, avec des éléments diagonaux tous égaux à 1 et tous les autres éléments nuls, satisfait aux relations MI_n=M et I_nN=N pour toutes (m,n)-matrices M et (n, k)-matrice N.

Par exemple, si n = 3:

$I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

La matrice unité est l'élément neutre de l'anneau des matrices carrées.

Les éléments symétrisables dans cet anneau sont appelés les matrices inversibles (ou les matrices non singulières)

Par définition une matrice d'ordre n, A est inversible si et seulement s’il existe une matrice B telle que

AB = I_n ( = BA).

Dans ce cas, B est unique puisque la loi est associative et s'appelle la matrice inverse de A.

Pour calculer l'inverse d'une matrice, vous pouvez utiliser la méthode d'élimination de Gauss-Jordan.

Dans un certain sens, le rang d'une matrice mesure à quel point une matrice est proche d'être inversible.

Une valeur propre d'une matrice carrée A est un nombre γ tel que A-γI_n ne soit pas inversible. Toute matrice carrée complexe possède n valeurs propres éventuellement répétées. Ce résultat n'est pas valable pour les matrices carrées réelles, celles-ci n'admettent pas toujours des valeurs propres toutes réelles; mais une matrice réelle peut être considérée comme une matrice complexe et admet n valeurs propres réelles ou complexes.

Le déterminant d'une matrice carrée A est défini la formule de Leibniz et est égal au produit des valeurs propres de la matrice.

Les matrices inversibles sont précisément celles qui ont un déterminant non nul.

L'ensemble de toutes les matrices d'ordre n inversibles forme un groupe (en particulier un groupe de Lie) pour la multiplication des matrices, appelé le groupe linéaire.

La trace d'une matrice carrée est la somme de ses éléments diagonaux, et est aussi égale à la somme de ses n valeurs propres.

Voyez le théorème des matrices inversibles, pour une liste de propriétés des matrices inversibles.

Une matrice par bloc est une matrice de matrices. Par exemple, considérons une matrice P:

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 7 & 5\\ 4 & 9 & 2 & 6\\ 6 & 1 & 5 & 8\end{pmatrix}$

Nous pouvons la découper en des sous-matrices d'ordre 2 de la manière suivante:

$P_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, P_{12} = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 7 & 5\end{pmatrix}, P_{21} = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}, P_{22} = \begin{pmatrix} 2 & 6\\ 5 & 8\end{pmatrix}$

$P_{\rm par\ \ bloc} = \begin{pmatrix} P_{11} & P_{12}\\ P_{21} & P_{22}\end{pmatrix}$

Cette technique de découpage des matrices est utilisée pour les calculs en développant par ligne ou colonne, a beaucoup d'applications en informatique, en particulier dans les circuits à très haute intégration (VLSI).

Matrices réelles ou complexes particulières

Certaines matrices particulières sont si importantes qu'elles portent un nom; En voici quelques exemples :

les matrices symétriques sont des matrices carrées telles que les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale soient égaux, ce qui signifie que

pour tous i et j, a_ij=a_ji.

Les matrices hermitiennes (auto-adjointes) sont des matrices telles que les éléments symétriques par rapport à la diagonales soient conjugués l'un de l'autre, c'est-à-dire

$a_{ji}=\overline{a_{ij}}$

Les matrices de Vandermonde (matrices carrées de n lignes et n colonnes) vérifient le fait que chaque ligne soit une progression géométrique de rapport le terme général celui de la première colonne.
Les matrices de Toeplitz ont des éléments égaux sur leurs diagonales :

a_i,j=a_i+1,j+1.

Les matrices stochastiques sont des matrices carrées dont les colonnes correspondent à des vecteurs de probabilité.
Les chaînes de Markov sont des suites de vecteurs de probabilité x₀,x₁,..... avec une matrice stochastique P telle que X_k+1 = PX_k pour k = 0,1,2,..... X_k désignant la matrice colonne du vecteur x_k.

Matrices à coefficients dans un anneau arbitraire

Si nous disposons d'un anneau A alors nous pouvons considérer l'ensemble $\mathcal M_{mn}(\mathbb A)$ de toutes les (m, n)-matrices à coefficients dans A. L'addition et la multiplication de ces matrices peut être définie comme précédemment, et ont les mêmes propriétés. L'ensemble $\mathcal M_{n}(\mathbb A)$ de toutes les matrices carrées d'ordre n sur l'anneau A, est isomorphe à l'anneau des endomorphismes du A-module Rⁿ.

Si A est commutatif, alors $\mathcal M_{n}(\mathbb A)$ est une algèbre associative unitaire sur A. Il est alors aussi possible de définir le déterminant de matrices carrées en utilisant la formule de Leibniz; une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est inversible sur A.

Les matrices sur un anneau de polynôme sont importantes dans l'étude de la théorie du contrôle.

Le polynôme caractéristique d'une matrice carré M est le determinant de M - x*Id. Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres.

Matrice et graphe

Dans la théorie des graphes, on appelle matrice d'un graphe la matrice indiquant dans la ligne i et la colonne j le nombre d'arêtes reliant le sommet i au sommet j. Dans un graphe non orienté, la matrice est symétrique. La somme des éléments d'une colonne permet de déterminer le degré d'un sommet. La matrice indique dans la ligne i et la colonne j le nombre de chemins à n arêtes joignant le sommet i au sommet j

Associée à un graphe probabiliste, on trouve aussi une matrice des probabilités.

Théorème de Jordan

Toute matrice carrée M d'ordre n est décomposable en une somme d'une matrice diagonalisable D et d'une matrice nilpotente N d'ordre n c-à-d dont il existe une puissance niéme dont le produit est nul.

M = D + N

D est une matrice nulle partout sauf sur les éléments de la diagonale appelées valeurs propres et racines du polynôme caractèristique associé. si D=(a_{ij}) alors a_{ij}=0 si i#j et si i=j a_{ii}# 0 tel que 0 < i,j < n+1
N est telle que N* (n fois) * N = 0

Liens internes

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