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Méthode des moindres carrés

Travail en cours

La méthode des moindres carrés, indépendamment découverte par Gauss et Legendre permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d'erreurs de mesure à un modèle mathématique censé décrire ces données.

Ce modèle peut prendre diverses formes. Il peut s'agir de lois de conservation que les quantités mesurées doivent respecter. La méthode des moindres carrés permet alors de minimiser l'impact des erreurs expérimentales en « ajoutant de l'information » dans le processus de mesure.

Dans le cas le plus courant, ce modèle est une famille de fonctions d'une ou plusieurs variables muettes , indexées par un ou plusieurs paramètres inconnus. La méthode des moindres carrés permet de sélectionner parmi ces fonctions, celle qui reproduit le mieux les données expérimentales. On parle dans ce cas d' ajustement par la méthode des moindres carrés. Si les paramètres ont un sens physique la procédure d'ajustement donne également une estimation indirecte de la valeur de ces paramètres.

Si les erreurs sont normalement distribuées (ce qui est très courant) et si leur variance est connue, la méthode des moindres carrés permet de plus d'estimer quantitativement l'adéquation du modèle aux mesures. Si le modèle d'erreur est non gaussien, il faut généralement recourir à la méthode du maximum de vraisemblance, dont la méthode des moindres carrés est un cas particulier.

Son extrême simplicité fait que cette méthode est très couramment utilisée de nos jours en sciences expérimentales. Dans de nombreux cas, la quantité que l'on cherche à mesurer n'est pas observable et n'apparait qu'indirectement comme paramètre d'un modèle théorique. Dans ce dernier cas de figure, il est possible de montrer que la méthode des moindres carrés est un estimateur non biaisé de ces paramètres, qui vérifie certaines conditions d'optimalité. En revanche, cet estimateur est extrêmement sensible aux points aberrants : on traduit ce fait en disant qu'il est non robuste. Plusieurs techniques permettent cependant de « robustifier » la méthode.

Formalisme

Un exemple simple

Ajustement de modèles linéaires

Ajustement de modèles non-linéaires

Ajustement sous contraintes

Formalisme général : ajustement de modèles implicites

Interprétation statistique

Le critère du chi2

Optimalité de la méthode des moindres carrés

Robustesse

Sensibilité aux points aberrants

Techniques de robustification