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Mouvement brownien

Le mouvement brownien est une description du mouvement aléatoire de particules qui ne sont soumises à aucune autre interaction que les chocs. Ce comportement a été décrit pour la première fois par le biologiste Robert Brown en 1827. Il l'aurait découvert alors qu'il observait le mouvement de pollens flottant sur l'eau.

La description est la suivante :

entre deux chocs, une particule va en ligne droite avec une vitesse constante ;
une particule est accélérée lorsqu'elle rencontre une autre particule ou une paroi.

Ceci permit de décrire avec succès le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique) ainsi que le phénomène de diffusion.

La difficulté réside dans le fait que le mouvement est aléatoire et que statistiquement, le mouvement est nul, il n'y a pas de mouvement d'ensemble (contrairement à un vent ou un courant) :

à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s'annule (il n'y a pas de mouvement d'ensemble) ;
si l'on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle « virevolte » autour du même point.

Difficile dans ces conditions de caractériser le mouvement... La solution fut trouvée par Albert Einstein en 1905. Il démontra que ce qui caractérise la mouvement, ce n'est pas la moyenne arithmétique des positions <X> mais la moyenne quadratique $\sqrt{<X^2>}$ : si x(t) est la position de la particule à l'instant t, alors

$<X^2> = \frac{1}{\tau} \cdot \int_{t = 0}^{\tau} x^2(t) \cdot dt$

On peut aussi utiliser le même modèle lorsque le mouvement se fait par sauts discrets entre positions définies (on a alors des mouvements en ligne droite entre deux positions), comme par exemple dans le cas de la diffusion dans les solides. Alors, si les x_i sont les positions successives d'une particule, alors

$<X^2> = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n x_i^2$

Cette valeur <X ²> n'est pas nulle mais croît avec le temps. On peut ainsi définir la vitesse quadratique comme étant

$V = \frac{\sqrt{<X^2>}}{\tau}$

où τ est la durée sur laquelle on a évalué <X ²>, qui est une caractéristique du mouvement, et dépend de l'agitation des particules (température) et de leur mobilité (coefficient de diffusion, frottement, attraction entre particules...).

Note : on n'a considéré ici qu'une seule coordonnée x, la même analyse s'applique sur y et z.

Catégories: Thermodynamique | Science des matériaux

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