Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] \| Liste Catégories \| Une page au hasard \| Pages liées

Moyenne

Il y a plusieurs méthodes pour calculer une moyenne d'un ensemble de nombres. Lorsque, dans le langage courant, on parle de moyenne, on évoque en fait la moyenne arithmétique.

Sommaire

1 Moyenne arithmétique

2 Valeur médiane

3 Moyenne géométrique

4 Moyenne harmonique

5 Moyenne quadratique

6 Moyenne : Cas général

7 Comparaison des moyennes

8 Moyenne pondérée

9 Valeur moyenne d'une fonction

10 Voir aussi

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est la moyenne ordinaire, c'est-à-dire la somme des valeurs numériques (de la liste) divisée par le nombre de ces valeurs numériques.

$\bar{x} = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{x_i}$

Valeur médiane

La valeur médiane est une valeur à laquelle 50% des valeurs observées sont inférieures. Elle n'est pas (sauf exception ou hasard) équivalente la moyenne arithmétique de l'ensemble. En supposant que l'on ait, au préalable, rangé les valeurs observées de sorte qu'elles se trouvent indexées suivant l'ordre des valeurs croissantes ( $x_1,\ x_2,\ x_3,\ ...\ x_i,\ x_{i+1}\ etc.$ ) :

pour un nombre pair 2n de valeurs, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, soit , ou toute autre valeur strictement comprise entre et
pour un nombre impair 2n+1 de valeurs, la médiane est unique et égale à .

Moyenne géométrique

La moyenne géométrique est définie de la manière suivante :

$\bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}}$

On peut l'illustrer avec le cas suivant: si l'inflation d'un pays est de 5% la première année et de 15% la suivante, l'augmentation moyenne des prix se calcule grâce à la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs 1,05 et 1,15 soit une augmentation moyenne de 9,88% et non grâce à la moyenne arithmétique 10% (réponse intuitive).

Moyenne harmonique

La moyenne harmonique est définie de la manière suivante :

$\bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

Exemple: si un train fait un trajet aller-retour entre 2 villes à la vitesse moyenne pour l'aller et à la vitesse moyenne au retour, la vitesse moyenne du trajet complet n'est pas la moyenne arithmétique des 2 vitesses, mais bien leur moyenne harmonique.

Moyenne quadratique

La moyenne quadratique est définie de la manière suivante :

$\bar{x} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^2}}$

Exemple: Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, le carré qui a même diagonale que le rectangle a pour côté la moyenne quadratique de 3 et 7, c'est-à-dire 5,38

Moyenne : Cas général

La définition (et donc le calcul) des moyennes précédentes peut être synthétisée et généralisée à l'aide de la formule unique suivante :

$\bar{x}(m) = \sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^m}}$

où l'on retrouve :

pour $m\ =\ 1$ , la moyenne arithmétique
pour $m\ =\ 2$ , la moyenne quadratique
pour $m\ =\ -1$ , la moyenne harmonique
lorsque $m \to 0$ , la limite de $\bar{x}(m)$ est la moyenne géométrique

Comparaison des moyennes

Si a et b sont deux réels positifs tels que a < b, alors on a :

Moyenne pondérée

La moyenne pondérée est utilisée, en géométrie pour localiser le barycentre d'un polygone, en physique pour déterminer le centre de gravité ou en statistique et probabilité pour calculer une espérance. On la calcule ainsi :

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n {w_i}}$