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Nombre de Bell

Les nombres de Bell, qui portent le nom de Eric Temple Bell, se rencontrent souvent en combinatoire. Ces nombres forment une suite d'entiers qui commence ainsi :

$B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots$

(suite A000110 dans l'encyclopédie électronique des suites entières)

En général, B_n est le nombre de partitions d'un ensemble de cardinal n. (B₀ est égal à 1 parce qu'il y a exactement une partition de l'ensemble vide. Une partition d'un ensemble E est par définition un ensemble de parties non vides et disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à l'ensemble E.) Chaque partie d'une partition de l'ensemble vide est une partie de l'ensemble vide donc est vide (cela est évident), et leur réunion est égale à l'ensemble vide. Donc, le singleton ensemble vide est la seule partition de l'ensemble vide.

Les nombres de Bell satisfont la formule de récurrence :

$B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{C_n^k B_k}.$

(où $C_n^k$ est un coefficient binomial)

Ils satisfont aussi à la formule de Dobinski :

$B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}={\rm moment\ d'ordre\ }n{\rm \ d'une\ loi\ de\ Poisson\ de\ param\grave{e}tre\ }1.$

Et ils satisfont à la congruence de Touchard : Si p est un nombre premier quelconque alors

$B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (p).$

(relation de congruence modulo p)

Chaque nombre de Bell est une somme des nombres de Stirling de deuxième espèce

$B_n=\sum_{k=1}^n S (n, k).$

Le nombre de Stirling S(n, k) est le nombre de façons de « partitionner » un ensemble de cardinal n en exactement k sous-ensembles non vides.

Catégories: Analyse combinatoire

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