Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] \| Liste Catégories \| Une page au hasard \| Pages liées

Nombre p-adique

théorie des nombres

Un nombre p-adique est un élément d'un des corps suivants:

un des $\mathbb Q_p$ ;
une extension algébrique finie d'un $\mathbb Q_p$ ;
un corps de Tate.

(Le p dont il est question est un nombre premier fixé une fois pour toutes.)

Le corps $\mathbb Q_p$ est défini par complétion du corps $\mathbb Q$ des nombres rationnels, lorsque ce dernier est muni de la valeur absolue , appelée valeur absolue p-adique, définie comme suit: la valeur absolue d'un rationnel r vaut lorsque r se décompose en $r = (a/b) \cdot p^k$ avec a, b et k entiers relatifs, b > 0, a et b premiers entre eux et ni a ni b n'est divisible par p. (Une telle décomposition est unique.) Si r est entier, k est simplement le plus grand exposant d'une puissance de p qui divise r. En quelque sorte, plus r est divisible par p plus sa valeur absolue p-adique est petite.

En considérant $\mathbb Q_p$ comme un $\mathbb Q_p$ -espace vectoriel on peut munir $\mathbb Q_p$ d'une norme puis d'une distance.

Le théorème d'Ostrowski donne une classification des normes sur les rationnels :

la valeur absolue habituelle, qui donne par complétion les réels ;
les valeurs absolues p-adiques, qui donnent par complétion les $\mathbb Q_p$ , puis éventuellement par extension algébrique, d'autres corps, dont les éléments sont aussi appelés nombres p-adiques.

Ces valeurs absolues donnent naissance aux $\mathbb Q_p$ , qui sont des analogues des réels, mais qui présentent des propriétés spécifiques, car munis d'une valeur absolue et d'une norme non-archimédienne. On obtient alors une analyse différente de l'analyse usuelle, que l'on appelle analyse p-adique.

Catégories: Théorie des nombres | Algèbre

This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the