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Norme (mathématiques)

En mathématiques, une norme est une fonction qui donne un sens à l'idée usuelle de taille d'un objet.

Définition

On appelle norme sur un $\mathbb K$ -espace vectoriel une fonction de dans $\mathbb{R_+}$ , souvent notée $\|\cdot\|$ (c'est-à-dire que l'image d'un vecteur est notée $\|x\|$ ) vérifiant les conditions suivantes:

Séparation : $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x=0$ ;
Homogénéité : $\forall (\lambda,x)\in \mathbb K \times E : \| \lambda \cdot x \| = |\lambda| \cdot \| x \|$ ;
Inégalité triangulaire : $\forall (x,y) \in E^2 : \|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|$ .

Certaines normes appelées ultramétriques vérifient une condition plus forte que l'inégalité triangulaire. Voir l'article sur la norme ultramétrique.

Dans la suite, et même si ça n'est pas obligatoire, on pourra imaginer que $\mathbb K$ est un sous-corps de $\mathbb C$ .

Un espace vectoriel muni d'une norme est appelé espace vectoriel normé (en abrégé evn).

Remarque (pas très utile) : le corps sur lequel est construit l'evn doit posséder une fonction « valeur absolue » pour que l'axiome d'homogénéité ait un sens. On parle alors de corps valué.

Exemples :

$\mathbb R$ muni de la valeur absolue est un espace vectoriel normé. Il en est de même pour $\mathbb C$ et tous ses sous-corps munis du module et, plus généralement pour tout corps valué.

$\mathbb R^n$ , muni d'une quelconque des normes
$\|(x_1, x_2, \ldots, x_n)\|_p = \left ( \sum_{k=1}^n |x_i|^p \right )^{1/p}$
est un espace vectoriel normé. Il en est de même pour la norme
$\|(x_1, x_2, \ldots, x_n)\|_\infty = \max_{1\leq i \leq n} |x_i|$ .
Sa notation ||·||_∞ est due au fait que
$\lim_{p\to+\infty} \|x\|_p = \|x\|_{\infty}$ .
L'inégalité triangulaire pour ces normes s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder.
Ceci correspond à la norme habituellement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace géométrique.

L'ensemble $\ell^p$ des suites à valeurs réelles $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ telles que la série de terme général converge muni de la norme
$\|(a_n)_{n\in\mathbb N}\|_{\ell^p} = \left ( \sum_{k=0}^{+\infty} |a_i|^p \right )^{1/p}$
est un espace vectoriel normé.

L'ensemble des fonctions continues réelles d'un intervalle compact de $\mathbb R$ muni de la norme
$\|f\| = \sup_I f$
est un espace vectoriel normé.

Topologie induite

Un espace vectoriel normé peut être muni d'une distance $d(x,y) = \|x-y\|$ qui fait de lui un espace métrique. Sa structure topologique est donc celle d'espace métrique.

On appelle espace de Banach un evn complet.

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