Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] \| Liste Catégories \| Une page au hasard \| Pages liées

Notation bra-ket

La notation Bra-Ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l'écriture de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l'aspect vectoriel de l'objet représentant un état quantique (voir Axiomes de la mécanique quantique). Le nom provient d'un jeu de mots avec le terme bracket qui signifie « crochet de parenthèse », en l'occurrence « < » et « > ».

Sommaire

1 Le 'ket'

1.1 Définition
1.2 Propriétés
1.3 Base & Composantes

2 Le 'bra'

2.1 Définition
2.2 Propriétés
2.3 Composantes
2.4 Notes

Le 'ket'

Définition

Soit un vecteur de l'espace des états. Il est noté $|u\rangle$ et s'appelle vecteur-ket ou ket.

Deux kets forment un espace vectoriel linéaire. Ainsi, si λ₁ et λ₂ sont des nombres complexes quelconques,

$|v\rangle = \lambda_{1} |u_{1}\rangle + \lambda_{2} |u_{2}\rangle$

est un ket.

En allant plus loin, si dépend d'un indice continu , et si est une fonction complexe, alors,

$|u\rangle = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x)\, dx$

est un ket.

Propriétés

Le produit scalaire de deux kets est un complexe, noté ) ou plus simplement (voir plus bas : Bra). Ce produit est antilinéaire, c'est-à-dire que

$\langle\phi|\lambda\psi_{1} + \mu\psi_{2}\rangle = \lambda\langle\phi|\psi_{1}\rangle + \mu\langle\phi|\psi_{2}\rangle$

mais que

$\langle\lambda\phi_{1} + \mu\phi_{2}|\psi\rangle = \lambda^{*}\langle\phi_{1}|\psi\rangle + \mu^{*}\langle\phi_{2}|\psi\rangle$

(l'expression signifie que l'on prend le complexe conjugué de -- voir les nombres complexes)

Ce choix permet la définition d'une norme qui est positive. En effet, le produit d'un vecteur par lui-même est égal au carré de sa norme:

$\langle\lambda\psi|\lambda\psi\rangle = \lambda\cdot\lambda^{*}\langle\psi|\psi\rangle = |\lambda|^{2}\langle\psi|\psi\rangle$

avec λ un scalaire une sorte de facteur d'échelle. Et d'où

$\langle\psi|\psi\rangle = || \psi||^{2}$

Base & Composantes

Il est commode d'utiliser une base afin de définir les composantes d'un ket. Il s'agit d'un ensemble de vecteurs $|u_{n}\rangle$ , linéairement indépendants. Il y a autant de vecteurs que de dimensions dans l'espace des états , et . Ainsi, on peut décomposer $|\psi\rangle$ dans la base des $|u_{n}\rangle$ :

$|\psi\rangle = \sum_{n=1}^N c_{n} |u_{n}\rangle$

où sont les composantes de $|\psi\rangle$ et appartiennent aux nombres complexes. On représente généralement un ket comme un vecteur colonne, une suite de nombres (les composantes) rangés verticalement:

$\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}$

Le 'bra'

Définition

On veut associer à chaque ket d'un espace ε, un nombre complexe. On définit pour cela une fonctionnelle linéaire χ telle que:

$\chi | \psi\rangle \rightarrow \lambda = \chi(\psi)$

Cette fonctionnelle est linéaire, ce qui signifie que:

$\chi(\lambda |\psi_1\rangle + \lambda |\psi_2\rangle) = \chi(\lambda |\psi_1\rangle) + \chi(\lambda |\psi_2\rangle)$

L'ensemble de ces fonctionelles linéaires constitue un espace vectoriel ε*, dit espace Dual de ε. On appelle vecteur-bra ou bra un élément de cet ensemble et on le note <w|.

Ainsi, quand la fonctionnelle linéaire χ agit sur |ψ>, on obtient:

$\chi(|\psi\rangle) = \lambda = \langle\chi|\psi\rangle$

Cette nouvelle notation souligne en fait la relation qu'il existe entre bra, ket, et le produit scalaire entre kets. Prenons un ket |φ>. Son produit scalaire avec |ψ> donne un nombre λ. On a ainsi défini une fonctionnelle linéaire qui à |ψ> fait correspondre un nombre complexe λ, à partir de |φ>:

$\phi(|\psi\rangle) = \lambda = (|\phi\rangle, \psi\rangle)$

Puisque cette fonctionnelle se note <φ|, on écrit également:

$(|\phi\rangle,\psi\rangle) = \langle \phi| |\psi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle$

Ceci nous amène à dire qu'à chaque ket, correspond un bra, tel que le produit scalaire (|φ>,ψ>) s'écrive <φ|ψ>. Cette correspondance n'est cependant absolument pas réciproque. Il existe des bras qui n'ont aucun « équivalent ket ».

L'écriture <φ|ψ> revêt alors deux signification, l'une étant le résultat de l'association d'une fonctionnelle à un ket, l'autre étant le produit scalaire de deux kets.

Propriétés

Il existe une correspondance entre bra et ket:

$|\psi\rangle \rightarrow \langle\psi|$ (mais <ψ| → |ψ> n'est pas toujours vrai.)

L'antilinéarité du produit scalaire implique la correspondance suivante:

$\lambda|\psi\rangle \rightarrow \lambda^*\langle\psi|$

En effet, la norme de λ|ψ> est définie positive:

$||\lambda|\psi\rangle||^2 = \lambda\lambda^*\langle\psi|\psi\rangle = (\lambda^*\langle\psi|) (\lambda|\psi\rangle)$

On identifie le ket λ|ψ>, ce qui implique que le « reste » de l'expression est le correspondant dans l'espace dual.

Composantes

L'écriture de la norme permet d'écrire un bra sous forme de composantes:

$\langle\psi| = \sum c_n^* \langle u_n|$

$|\psi\rangle = \sum c_n |u_n\rangle$

On représente aussi le bra sous la forme d'un vecteur ligne,une suite de nombres (les composantes) rangés horizontalement:

$\begin{bmatrix} c_1^* & c_2^* & \cdots & c_n^*\end{bmatrix}$

En effet, la définition même du produit scalaire nous incite à l'écrire en terme de matrice de la façon suivante:

$\langle\psi | \psi \rangle = \begin{bmatrix} c_1^* & c_2^* & \cdots & c_n^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}$

Notes

En anglais bracket signifie « crochet », ce qui a donné leur nom aux bra-ket, un peu comme « babord » et « tribord ».

Catégories: Physique quantique

This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the