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Opérateur laplacien

$\Delta=\nabla^2 =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
article d' analyse vectorielle

en théorie physique

groupe

physique mathématique

Modèle standard (physique)

En calcul vectoriel, l'opérateur laplacien ou le laplacien est un opérateur différentiel égal à la somme de toutes les deuxièmes dérivées partielles non mixtes d'une variable dépendante.

Cela correspond à la div (grade φ), d'où l'usage du symbole del pour le représenter:

$\Delta\phi=\nabla^2 \phi = \nabla \cdot ( \nabla \phi )$

Il s'écrit aussi Δ.

En coordonnées cartésiennes (plan) bidimensionnelles, le laplacien est:

$\Delta=\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 }$

En cordonnées cartésiennes tridimensionnelles:

$\Delta=\nabla^2 = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 }$

En coordonnées cylindriques:

$\nabla^2 t = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial t \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2} + {\partial^2 t \over \partial z^2 }$

En coordonnées sphériques:

$\nabla^2 t = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial t \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}$