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Opérations sur les ensembles

Cet article est consacré à une première approche des opérations sur les ensembles et de leurs propriétés : réunion, intersection, différence, complémentation, différence symétrique...

Réunion

Définition

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble U dont les éléments sont ceux de A et de B (cela découle de l'axiome de la réunion). En notation symbolique :

L'unicité de l'ensemble U est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « A U B » (lire « A union B »), et on l'appelle réunion de A et de B.

Propriétés

• U1 (commutativité) : la réunion de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces deux ensembles sont pris. En notation symbolique :

• U2 (Ø élément neutre) : la réunion de l'ensemble vide avec un ensemble quelconque redonne cet ensemble. En notation symbolique :

• U3 (idempotence) : la réunion d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet ensemble. En notation symbolique :

• U4 : tout ensemble est inclus dans sa réunion avec un autre ensemble. En notation symbolique :

• U5 : un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si leur réunion est égale à B. En notation symbolique :

• U6 : si la réunion de deux ensembles est vide, alors ils sont vides tous les deux. En notation symbolique :

• U7 (compatibilité avec l'inclusion) : la réunion de deux sous-ensembles est incluse dans la réunion des deux ensembles dont ils sont sous-ensembles. En notation symbolique :

• U8 (associativité) : le résultat de la réunion de plusieurs ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel les opérations de réunion sont faites. En notation symbolique :

Plus généralement, il est possible de définir l'union d'un nombre quelconque d'ensembles.

Ensemble somme

Définition

Pour tout ensemble E (dont les éléments sont nécessairement eux-mêmes des ensembles), il existe un ensemble S dont les éléments sont ceux des éléments de E (ceci n'est autre que l'Axiome de la réunion). En notation symbolique :

L'unicité de l'ensemble S est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « UE » (lire « union E »), parfois « U(E) », et on l'appelle ensemble somme de E :

Si E = { A, B, C, ... }, alors :

Propriétés

Si E est un sous-ensemble de F, alors l'ensemble somme de E est inclus dans celui de F :

L'ensemble somme de la réunion de deux ensembles est égal à la réunion des ensembles somme de chaque ensemble :

Plus généralement, l'ensemble somme de l'ensemble somme d'un ensemble E est égal à la réunion des ensembles somme des éléments de E ; en d'autres termes, si E = { A, B, C, ... }, alors :

Recouvrements

Un ensemble F est un recouvrement d'un ensemble E si et seulement si l'ensemble somme de F est égal à E. Par exemple, le singleton { E } et l'ensemble des parties sont deux recouvrements de E, ou, en d'autres termes : . D'après ce qui précède, l'union de deux recouvrements (ou plus) est encore un recouvrement.

Intersection

Définition

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble S dont les éléments sont ceux communs à A et à B (cela découle de l'axiome de compréhension). En notation symbolique :

L'unicité de l'ensemble S est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « A ∩B » (lire « A inter B »), et on l'appelle intersection de A et de B.

Propriétés

• N1 (commutativité) : l'intersection de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces deux ensembles sont pris. En notation symbolique :

• N2 (Ø élément absorbant) : l'intersection de l'ensemble vide et d'un ensemble quelconque est vide. En notation symbolique :

• N3 (idempotence) : l'intersection d'un ensemble quelconque avec lui-même redonne cet ensemble. En notation symbolique :

• N4 : l'intersection de deux ensembles est incluse dans chacun de ces deux ensembles. En notation symbolique :

• N5 : un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si leur intersection est égale à A. En notation symbolique :

• N6 : l'équivalent de U6 se traduit par une définition, celle des ensembles disjoints (voir ci-dessous).

• N7 (compatibilité avec l'inclusion) : l'intersection de deux sous-ensembles est incluse dans l'intersection des deux ensembles dont ils sont sous-ensembles. En notation symbolique :

• N8 (associativité) : le résultat de l'intersection de plusieurs ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel les opérations sont faites. En notation symbolique :

Plus généralement, il est possible de définir l'intersection d'un nombre quelconque d'ensembles.

Ensemble noyau

Pour tout ensemble E (dont les éléments sont nécessairement eux-mêmes des ensembles), il existe un ensemble S dont les éléments sont ceux communs à tous les éléments de E (cela découle de l'Axiome de compréhension). En notation symbolique :

L'unicité de l'ensemble S est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « ∩E » (lire « inter E »), parfois « ∩(E) », et on l'appelle ensemble noyau ou fonds commun de E :

Si E = { A, B, C, ... }, alors :

Si E est un sous-ensemble de F, alors l'ensemble noyau de F est inclus dans celui de E :

Ensembles disjoints

Deux ensembles sont disjoints si et seulement si leur intersection est vide, c'est-à-dire s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, si A = { 1, 2 } et B = { 3, 4 }, alors A ∩B = Ø, et A et B sont donc disjoints.

Il existe deux manières de généraliser cette définition à plus de deux ensembles :

• les éléments d'un ensemble E sont (globalement) disjoints si et seulement si l'ensemble noyau de E est vide : ;
• les éléments d'un ensemble E sont mutuellement disjoints ou disjoints deux à deux si et seulement si l'ensemble noyau de toute paire de ces éléments est vide, c'est-à-dire si ;

Ces deux notions sont différentes : si des ensembles disjoints deux à deux sont globalement disjoints, des ensembles globalement disjoints ne le sont pas nécessairement deux à deux.

Liens avec la réunion

• UN1 (distributivité de l'intersection par rapport à la réunion) : l'intersection de la réunion de deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à la réunion de l'intersection de chacun des deux premiers ensembles avec le troisième :

• UN2 (distributivité de la réunion par rapport à l'intersection) : la réunion de l'intersection de deux ensembles avec un troisième ensemble est égale à l'intersection de la réunion de chacun des deux premiers ensembles avec le troisième :

Nous pouvons démontrer (UN1) et laisser (UN2) à titre d'exercice. De chaque côté de l'égalité (UN1) figure un ensemble et nous voulons démontrer que ces ensembles sont égaux. Grâce à la proposition 2 sur les sous-ensembles, une stratégie possible est de montrer que chaque côté est un sous-ensemble de l'autre.

1. Prenons un élément x appartenant à l'ensemble de gauche. Alors, par définition de ∩, x est dans A et x est dans B ∪ C; c'est-à-dire, x est dans A et aussi x est dans B ou x est dans C (ou les deux). Dans le premier cas, x est à la fois dans A et dans B, il est donc dans A ∩ B et a fortiori dans (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Dans le second cas, x est à la fois dans A et dans C et donc il est de nouveau dans (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Donc, dans les deux cas, x est dans (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Nous avons montré que tout élément de l'ensemble de gauche est nécessairement dans l'ensemble de droite. Mais cela correspond exactement à l'inclusion de gauche à droite.
2. Prenons un élément de x dans l'ensemble du membre de droite de l'égalité. Alors x est dans A ∩ B ou x est dans A ∩ C (ou les deux). Dans le premier cas, x est dans A et x est dans B; dans le deuxième, x est dans A et x est dans C. Dans les deux cas, x est dans A. Mais dans le premier cas x est dans B et donc dans B ∪ C; dans le deuxième cas, x est dans C et donc encore dans B ∪ C. Nous avons prouvé que quel que soit x, s'il appartient à l'ensemble de droite, alors, il est à la fois dans A et dans B ∪ C et donc par définition il est dans A ∩ (B ∪ C). Nous avons démontré l'inclusion de droite à gauche.

Par la proposition 2, (1) et (2) réunis prouvent que l'ensemble de gauche est égal à l'ensemble de droite, comme prévu.

Partition d'un ensemble

Une partition d'un ensemble E est par définition un recouvrement de celui-ci par des ensembles disjoints deux à deux. Par exemple, { lundi, mardi }, { mercredi, jeudi } et { vendredi, samedi, dimanche } forment une partition de l'ensemble des jours de la semaine.

Cette notion formalise l'idée intuitive de « découpage » d'un ensemble en plusieurs « morceaux ». L'intérêt de cette notion apparaitra pleinement avec l'étude des relations d'équivalence.

Différence

Définition

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble D dont les éléments sont ceux de A qui n'appartiennent pas à B (cela découle de l'axiome de compréhension). En notation symbolique :

L'unicité de l'ensemble D est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « A \ B » (lire « A moins B »), et on l'appelle différence de A et de B.

« Faire la différence » de deux ensembles A et B se dit aussi « soustraire » A de B.

Propriétés

• D1 (Ø élément neutre à droite) : soustraire l'ensemble vide d'un ensemble redonne cet ensemble :

• D2 (Ø élément absorbant à gauche) : soustraire un ensemble de l'ensemble vide donne l'ensemble vide :

• D3 (involutivité) : soustraire un ensemble de lui-même donne l'ensemble vide :

• D4 : soustraire un sur-ensemble d'un ensemble donne l'ensemble vide, ou, en d'autres termes, pour tout A et tout B, la différence de A et de B est vide si et seulement si A est inclus dans B :

• D5 : soustraire un ensemble d'un autre ne redonne cet ensemble que si et seulement si les deux ensembles sont vides :

• D6 : les deux ensembles intervenant dans une différence ne sont interchangeables sans modification du résultat que s'ils sont égaux :

• D7 : soustraire un ensemble B d'un ensemble A ne redonne A que si et seulement si les deux ensembles sont disjoints :

• D8 : soustraire un ensemble B d'un ensemble A ne donne leur intersection que si et seulement si A est vide :

• D9 : soustraire un ensemble B d'un ensemble A ne donne leur réunion que si et seulement si B est vide :

• D10 : si on soustrait un ensemble B d'un ensemble A, le résultat est un sous-ensemble de A :

• D11 (pseudo-distributivité à droite en intersection de la différence par rapport à elle-même) : soustraire successivement deux ensembles B et C d'un ensemble A revient à prendre l'intersection des différences de A et de B, et de A et de C :

• D12 : soustraire d'un ensemble A la différence de deux ensembles B et C revient à prendre la réunion de la différence de A et de B, et de l'intersection de A et de C :

• D13 : réunir un ensemble C avec la différence de deux ensembles A et B revient à soustraire la différence de B et de C de la réunion de A et de C :

• D14 : soustraire un ensemble C de l'intersection de deux ensembles A et B revient à prendre l'intersection de A avec la différence de B et de C :

• D15 (distributivité à droite de la différence par rapport à l'intersection) : soustraire un ensemble C de l'intersection de deux ensembles A et B revient à prendre l'intersection de la différence de chacun de ces ensembles avec C :

• D16 (distributivité à droite de la différence par rapport à la réunion) : soustraire un ensemble C de la réunion de deux ensembles A et B revient à prendre la réunion de la différence de chacun de ces ensembles avec C :

• D17 (pseudo-distributivité à gauche en réunion de la différence par rapport à l'intersection) : soustraire l'intersection de deux ensembles B et C d'un ensemble A revient à prendre la réunion de la différence de A avec chacun des ensembles B et C :

• D18 (pseudo-distributivité à gauche en intersection de la différence par rapport à la réunion) : soustraire la réunion de deux ensembles B et C d'un ensemble A revient à prendre l'intersection de la différence de A avec chacun des ensembles B et C :

Cette dernière propriété peut en fait se déduire des précédentes. D14 et D15 peuvent être rapprochées, de même que D12 et D17.

Complémentaires

Définitions

Deux ensembles B et C sont complémentaires dans un ensemble A s'ils forment une partition de A.

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, si B est inclus dans A, alors A \ B se note plutôt « A - B » (lire encore « A moins B »), et s'appelle complémentaire relatif de B dans A.

Si Ω désigne un référentiel, et A un ensemble (forcément inclus dans le référentiel), alors Ω - A désigne le complémentaire absolu de A. Il est noté habituellement (lire « A barre » ou « non A »).

Propriétés

PROPOSITION 4 : B et C sont complémentaires dans A si et seulement si C est le complémentaire relatif de B dans A :

PROPOSITION 5 : Pour tout ensemble universel Ω et sous-ensembles A, B, et C de Ω:

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;

Différence symétrique

Définition

Pour tout ensemble A et tout ensemble B, il existe un ensemble D dont les éléments sont ceux qui appartiennent soit à A, soit à B, mais pas aux deux à la fois (l'existence de cet ensemble découle de l'axiome de compréhension et de l'axiome de la réunion). En notation symbolique :

L'unicité de l'ensemble D est garantie par l'axiome d'extensionnalité. On le note « A Δ B » (lire « A delta B »), et on l'appelle différence symétrique de A et de B.

(rappel : désigne le ou exclusif logique)

Il existe deux autres définitions équivalentes :

Cette dernière définition justifie l'appellation de différence symétrique donnée à cette opération.

Propriétés

• DS1 (commutativité) : la différence symétrique de deux ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel ces ensembles sont pris :

• DS2 (Ø élément neutre) : la différence symétrique de l'ensemble vide et d'un autre ensemble redonne cet ensemble :

• DS3 (involutivité) : la différence symétrique de tout ensemble avec lui-même donne l'ensemble vide :

Cette propriété a pour conséquence immédiate :

• DS4 (inversibilité) : pour tout ensemble, il en existe un tel que leur différence symétrique soit vide :

Cette propriété a à son tour pour conséquence :

• DS5 (régularité) : si les différences symétriques d'un ensemble avec deux autres ensembles sont égales entre elles, alors ces deux autres ensembles sont égaux entre eux :

• DS6 (Ω élément inverseur) : la différence symétrique d'un ensemble et du référentiel donne le complément absolu de cet ensemble :

• DS7 : la différence symétrique d'un ensemble et de son complément absolu redonne le référentiel :

• DS8 : le complément absolu de la différence symétrique de deux ensembles est égal à la différence symétrique de l'un des deux ensembles avec le complément absolu de l'autre ensemble :

• DS9 : pour tout A et tout B,   A \ B   et   B \ A   forment une partition de   A Δ B :

• DS10 : pour tout A et tout B,   A Δ B   et   A   ∩ B   forment une partition de   A U B :

• DS11 : la différence symétrique de deux ensembles est vide si et seulement si les deux ensembles sont égaux :

• DS12 : la différence symétrique de deux ensembles est égale à l'un des deux ensembles si et seulement si l'autre ensemble est vide :

• DS13 : la différence symétrique de deux ensembles est égale au référentiel si et seulement si les deux ensembles sont complémentaires absolus :

• DS14 : la différence symétrique de deux ensembles est égale au complément absolu de l'un d'entre eux si et seulement si l'autre ensemble est le référentiel :

• DS15 : la différence symétrique de deux ensembles est égale à leur intersection si et seulement si les deux ensembles sont vides :

• DS16 : la différence symétrique de deux ensembles est égale à leur réunion si et seulement s’ils sont disjoints :

• DS17 : la différence symétrique de deux ensembles est égale à la différence de l'un avec l'autre si et seulement si l'un est inclus dans l'autre :

• DS18 (associativité) : la différence symétrique de trois ensembles ne dépend pas de l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées :

• DS19 (distributivité de ∩ par rapport à Δ) : l'intersection d'un ensemble avec la différence symétrique de deux autres ensembles est égale à la différence symétrique des intersections du premier ensemble avec chacun des deux autres :

Exemples

Pour illustrer ces notions, soit A l'ensemble des personnes gauchères, et B l'ensemble des personnes blondes. Alors A ∩ B est l'ensemble de tous les gauchers blonds, alors que A ∪ B est l'ensemble de toutes les personnes qui sont ou gauchères ou blondes, ou les deux.. A \ B, en revanche, est l'ensemble de toutes les personnes qui sont gauchères mais pas blondes, alors que B \ A est l'ensemble de toutes personnes blondes mais pas gauchères. Enfin, A Δ B désigne l'ensemble de toutes les personnes soit blondes, soit gauchères, mais pas les deux à la fois.

Maintenant supposons que E soit l'ensemble de tous les êtres humains, et que F l'ensemble de tous ceux qui sont âgés de plus de 1000 ans. Qu'est-ce que E ∩ F dans ce cas? Aucun humain n'a plus de 1000 ans, donc E ∩ F doit être l' ensemble vide : Ø.

Nous avons énuméré sans démonstration plusieurs propriétés simples des opérations sur les ensembles. Ces propriétés peuvent être visualisées avec les diagrammes de Venn .

Voir aussi

• Théorie des ensembles
• Notion d'ensemble
• Sous-ensembles
• Produit cartésien
• Correspondances et Relations