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Ordre multiplicatif

En théorie des nombres, soit un entier a et un entier positif n avec pgcd(a,n) = 1, l'ordre multiplicatif de a modulo n est le plus petit entier positif k avec

a^k ≡ 1 (modulo n).

L'ordre de a modulo n est écrit généralement ord_n a, ou O_n(a).

Par exemple, pour déterminer l'ordre multiplicatif de 4 modulo 7, nous calculons 4² = 16 ≡ 2 (modulo 7) et 4³ ≡ 4×2 = 8 ≡ 1 (modulo 7), donc ord₇(4) = 3.

Cette notion est un cas particulier de l'ordre des éléments d'un groupe : si (G, *) est un groupe écrit avec la notation de la multiplication usuelle (alors a^t représente le tième produit avec *), l'ordre de l'élément a de G est le plus petit entier positif k tel que a^k=e (où e désigne l'élément identité de G). L'ordre multiplicatif d'un nombre a modulo n n'est rien mais l'ordre de a dans le groupe U(n), ces éléments sont les résidus modulo n des nombres relativement premiers à n, et cette opération de groupe est la multiplication modulo n. C'est le groupe des unités de l'anneau Z_n; il possède φ(n) éléments, φ étant la fonction indicatrice d'Euler.

Pour des raisons générales, comme un cas du théorème de Lagrange, ord_na divise toujours φ(n). Si ord_n a est égal à φ(n) et par conséquent aussi grand que possible, alors a est appelé une racine primitive modulo n. Ceci veut dire que le groupe U(n) est cyclique et que la classe des résidus de a le génère.

Tous les nombres n n'ont pas une racine primitive modulo n, mais les nombres premiers en ont toujours. Si un nombre n admet une racine primitive modulo n, alors il existe φ(φ(n)) classes de résidus différentes modulo n qui servent comme racines primitives. Ceci est un exemple d'un résultat général à propos du nombre de générateurs des groupes cycliques.

Voir aussi : arithmétique modulaire, ordre (théorie des groupes)