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Pendule de Foucault

Un pendule de Foucault, du nom du physicien français Jean Bernard Léon Foucault, est une expérience conçue pour démontrer la rotation de la Terre par rapport à un référentiel galiléen ainsi que l'existence de la force de Coriolis dans un référentiel non galiléen. La première démonstration date de 1851, le pendule étant attaché au plafond du Panthéon de Paris. L'originalité du pendule repose sur le fait que la rotation de la Terre est ainsi mise en évidence par une expérience locale, à l'intérieur d'une pièce fermée, et qu'on peut également déterminer la latitude du lieu de l'expérience sans aucune observation astronomique extérieure.

Si l'on considère le repère centré au niveau du point de fixation du pendule (le toit du Panthéon par exemple), le pendule oscille toujours dans le même plan (par rapport à ce point) ; en revanche la Terre tourne sous lui (ce qui est prévu par les lois de Newton, et assez intuitif si l'on s'imagine au pôle). Dans un repère plus habituel, celui de la Terre, c'est donc le pendule qui va subir une rotation...

Le pendule doit être idéalement placé sur un pôle de la Terre (il ne fonctionne pas à l'équateur). Sa période dépend du sinus de la latitude. Par exemple :

un jour sidéral au niveau des pôles
1.4 jour à 45° de latitude
2 jour à 30°

Sommaire

1 Mise en équation

1.1 Cas du pendule simple
1.2 Cas du pendule de Foucault
1.3 Interprétation et comparaison

2 Liens internes

3 Liens externes

Mise en équation

Pour simplifier, nous supposerons l'amplitude des oscillations suffisamment faibles pour admettre que la masse oscillante du pendule se déplace horizontalement. Notons Oxy ce plan horizontal, avec O position de la masse au repos, Ox axe horizontal dirigé vers l'est (et donc tangent au parallèle), et Oy dirigé vers le nord (et donc tangent au méridien). Le troisième axe Oz sera vertical, dirigé vers le haut.

Cas du pendule simple

Sans tenir compte de la rotation de la Terre, les équations du mouvement sont celles du pendule simple, à savoir : $\left \{ \begin{matrix} x'' = - \omega^2 x\\ y''= - \omega^2 y \end{matrix} \right.$ où ω est la pulsation propre du pendule simple, soit $\omega = \sqrt{g/l}$ où g est l'accélération de la pesanteur et l la longueur du pendule. A titre d'exemple, si à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V₀ selon l'axe Ox, alors, la solution à ce système est

$\left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega} \sin(\omega t) \\ y = &0 \end{matrix} \right.$

Cas du pendule de Foucault

Avec la rotation de la Terre, il faut tenir compte de l'accélération de Coriolis $2 \Omega (\vec{v} \times \vec{k})$ où $\vec{v}$ est la vitesse du pendule, $\vec{k}$ est le vecteur unitaire porté par l'axe de rotation terrestre et Ω la vitesse de rotation angulaire de la Terre (à savoir un tour en un jour sidéral). Cette vitesse de rotation Ω est beaucoup plus faible que la pulsation propre ω du pendule.

Si on se trouve à la latitude θ, alors le vecteur $\Omega \vec{k}$ a pour composantes dans le repère Oxyz $\begin{pmatrix} 0\\ \Omega \cos{\theta} \\ \Omega \sin{\theta} \end{pmatrix}$ . $\vec{v}$ a pour composantes $\begin{pmatrix} x'\\ y' \\ 0 \end{pmatrix}$ , de sorte que l'accélération de Coriolis aura pour composantes $\begin{pmatrix} 2y' \Omega \sin{\theta}\\ - 2x' \Omega \sin{\theta} \\ 2x' \Omega \cos{\theta} \end{pmatrix}$ .

Les équations du mouvement dans le plan Oxy deviennent : $\left\{\begin{matrix} x'' = - \omega^2 x + 2y' \Omega\sin{\theta}\\ y'' = - \omega^2 y - 2x' \Omega \sin{\theta}\end{matrix}\right.$ . Si on suppose encore qu'à l'instant t = 0, le pendule passe en O avec la vitesse V₀ selon l'axe Ox, alors, on pourra vérifier que les solutions x et y du système différentiel sont telles que :

$\left \{ \begin{matrix} x = &{V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ y = &- {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{matrix} \right.$

avec $\omega_0 = \sqrt{\omega^2 + \Omega^2 \sin^2(\theta)}$ . On peut écrire que :

$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = {V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t) \begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}$

Interprétation et comparaison

La quantité ${V_0 \over \omega_0} \sin(\omega_0 t)$ exprime le fait que le pendule de Foucault oscille avec une pulsation propre ω₀ très légèrement différente de celle du pendule simple, mais comme Ω est très petit devant ω, la différence entre ω et ω₀ est très faible.

Plus remarquable, l'oscillation se fait selon la direction $\begin{pmatrix} \cos(\Omega \sin(\theta) t)\\ - \sin(\Omega \sin(\theta) t) \end{pmatrix}$ qui tourne lentement selon la pulsation .

Liens internes

Le pendule de Foucault a inspiré un livre du même nom à Umberto Eco
Jean Bernard Léon Foucault
Lois du mouvement de Newton

Liens externes

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