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Pi

En informatique, Pi est le symbole du préfixe binaire Pébi.

Le nombre pi, noté par la lettre grecque du même nom π est le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est appelé aussi la constante d'Archimède.

Pi est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux nombres entiers naturels. L'irrationalité de π a été démontrée en 1761 par Johann Heinrich Lambert. En fait, ce nombre est transcendant, ce qui a été prouvé par Ferdinand Lindemann en 1882. Ceci signifie qu'il n'existe pas de polynôme à coefficients entiers ou rationnels dont π soit une racine. Il en résulte qu'il est impossible d'exprimer π avec un nombre fini d'entiers, de fractions rationnelles et de leurs racines.

La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la quadrature du cercle : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est rigoureusement égale à la surface d'un cercle donné. La raison en est que les coordonnées de tous les points constructibles à la règle et au compas sont des nombres algébriques particuliers.

Sommaire

1 Formules incluant π

1.1 Géométrie
1.2 Analyse
1.3 Théorie des nombres
1.4 Systèmes dynamiques / Théorie ergodique
1.5 Physique

2 Calcul de la valeur de pi

2.1 Historique du calcul de Pi
2.2 Méthodes de calcul de Pi

2.2.1 Les formules de Machin
2.2.2 Le calcul isolé des décimales de Pi
2.2.3 Autres formules

Formules incluant π

Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. En voici quelques-unes couramment utilisées:

Géométrie

Circonférence d'un cercle de rayon r : C = 2 π r

Aire d'un disque de rayon r : A = π r²

Aire d'une ellipse de demi-axes a et b : A = π ab

Volume d'une sphère de rayon r : V = (4/3) π r³

Surface d'une sphère de rayon r : A = 4 π r². La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même.

Angles : 180 degrés sont équivalents à π radians

[Pi] se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions).

Analyse

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \frac{\pi}{4}$ (formule de Leibniz)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2}$ (produit de Wallis)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (formule de factorielle de Stirling)

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$ (Identité d'Euler, aussi appelé « La formule la plus remarquable au monde »)

π peut s'écrire sous forme de fractions continues remarquables :

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}$

(Il y en a 12 autres représentations sur [1] )

Théorie des nombres

La probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux vaut 6/π².

Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs comme la somme de deux carrés parfaits (l'ordre compte) est π/4.

Systèmes dynamiques / Théorie ergodique

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}$

presque partout sur [0, 1] où les x_i sont des itérés du plan logistique pour r=4.

Physique

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ (Inégalité de Heisenberg)

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$ (Équation du champ d'Einstein de la relativité générale)

Calcul de la valeur de pi

Du fait de sa nature transcendante il n'y a pas d'expression simple de π. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une valeur approchée. Par exemple, une valeur approchée avec ses cent premières décimales serait :

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679.

Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 chiffres significatifs) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs.

Un moyen mnémotechnique populaire (mais peu pratique) est le poème :

Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages !

Immortel Archimède, artiste, ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale.

Historique du calcul de Pi

Au XX^e siècle av. J.-C. les Babyloniens utilisaient l'approximation 25/8 et les Égyptiens (16/9)²(= 3.16049...) qui était une assez bonne approximation. Ce ne fut qu'au IV^e siècle av. J.-C. qu'une meilleure approximation fut utilisée : en -434, Anaxagoras obtint par des méthodes géométriques l'encadrement 223/71 < π < 22/7 (3.1408... < π < 3.1428...). Vers 250 av. J.-C., grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle par deux polygones, Archimède obtint : 223/71 < π < 22/7 (3.1408... < π < 3.1428...), soit 2 décimales exactes.

Au Moyen-Orient en 1429, Al Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, le Hollandais Ludolph van Ceulen calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit écrit sur sa tombe.

Ensuite, grâce au développement de l'analyse au XVII^e siècle, avec notamment les sommes et produits infinis, le calcul des décimales de Pi s'accéléra. Par exemple, Isaac Newton calcula 16 décimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Vers 1760, Euler calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec les 14 décimales obtenues par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul).

Le mathématicien slovène Jurij Vega calcula en 1789 les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que John Machin avait trouvée en 1706 et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui.

Le mathématicien William Shank passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. L'erreur ne fut détectées qu'en 1945.

Le calcul des décimales de Pi s'emballa au XX^e siècle avec l'apparition de l'informatique : 2037 sont calculées en 1949 par le calculateur américain ENIAC, 10 000 décimales sont obtenues en 1958, 100 000 en 1961, 1 000 000 en 1973, 10 000 000 en 1982, 100 000 000 en 1989, puis 1 000 000 000 la même année. Le record actuel, obtenu en 2002 est de 1 241 100 000 000 décimales.

Méthodes de calcul de Pi

Les formules de Machin

La formule utilisée par John Machin, dont des formules similaires sont encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide :

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

Il l'obtint avec un développement en série de Taylor de la fonction arctan(x). Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le plan complexe, avec

$(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 -114244i$ .

Les formules de ce genre sont nommées formules de Machin.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'algorithme de Gauss-Legendre et l'algorithme de Borwein; l'algorithme de Salamin-Brent, inventé en 1976 a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales.

On peut voir 1 000 000 de décimales de π et de 1/π sur le Projet Gutenberg (voir liens externes).

Le record actuel (décembre 2002) est de 1 241 100 000 000 de décimales, calculées en septembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi à 64 nœuds, avec 1 Téraoctet de mémoire centrale, qui pouvait effectuer 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela:

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ (K. Takano, 1982)

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ (F. C. W. Störmer, 1896)

Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

Le calcul isolé des décimales de Pi

En 1996 David H. Bailey, en collaboration avec Peter Borwein et Simon Plouffe, ont découvert une nouvelle formule de π, une somme infinie (souvent appelée formule BBP):

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

Cette formule permet de calculer facilement la n^e décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le site de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de programmation. Grace à une formule dérivée de la formule BBP, le 40 000 000 000 000 digit de π en base 2 a été obtenu en 2002.

Autres formules

D'autres formules ont été utilisées pour calculer π dont:

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ (Ramanujan)

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ (David et Gregory Chudnovsky)

Questions ouvertes

La question ouverte la plus importante est de savoir si π est un nombre normal, c'est-à-dire si n'importe quelle succession de chiffres apparait dans la valeur décimale de π, comme on s'y attendrait dans une suite infinie et complètement aléatoire de chiffres. Ceci devrait être vrai dans n'importe quelle base, pas seulement en base 10.

On ne sait pas non plus quels sont les chiffres dont le nombre d'apparitions est infini.

Bailey et Crandall ont montré en 2000 que l'existence de la formule Bailey-Borwein-Plouffe ci-dessus et de formules similaires implique la normalité en base 2 de π.

De la nature de π

En géométrie non-euclidienne, la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π. Cela ne change pas la valeur de π, mais cela affecte les formules dans lesquelles ce nombre apparaît. En particulier, la forme de l'Univers n'affecte pas la valeur de π : c'est une constante mathématique, pas une valeur physique.

Livres

Le fascinant nombre π, J.P. Delahaye, Éditions Belin, Pour la Science.

Lien internes

Liens externes

pi314.net : un magnifique site entièrement dédié à pi
Le Project Gutenberg contient un million de décimales de π : http://gutenberg.net/etext/50
le site Wolfram Mathematics compile de nombreuses formules pour π
Finding the value of Pi
PlanetMath: Pi

Catégories: Nombre

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