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Plus grand élément

Définition

Dans un ensemble ordonné, le plus grand élément (resp. plus petit élément) ou élément maximum (resp. élément minimum) d'une partie de cet ensemble est l'élément qui, quand il existe, appartient à cette partie et est supérieur (resp. inférieur) à tous autres éléments de la partie.

Propriétés

Le plus grand (resp. plus petit) élément d'une partie est donc en particulier :

1. un élément maximal (resp. élément minimal) de la partie
2. un majorant (resp. minorant) de la partie
3. la borne supérieure (resp. borne inférieure) de la partie

... mais les réciproques sont fausses. On peut néanmoins énoncer les théorèmes suivants :

• Si une partie admet un plus grand élément (resp. plus petit élément), alors il n'y a qu'un seul élément maximal (resp. minimal) et c'est le plus grand élément (resp. plus petit élément) de la partie.
• Si une partie admet un majorant (resp. minorant) qui appartient à cette partie, alors la partie admet un plus grand élément (resp. plus petit élément) qui est précisément ce majorant (resp. minorant).

Exemple

• Prenons pour ensemble ordonné E l'ensemble des intervalles réels ordonnés par la relation d'inclusion.
• Choisissons comme partie P à étudier, l'ensemble des intervalles inclus dans .
• Tout élément de P inclut l'ensemble vide, donc l'ensemble vide est un minorant de P. Or l'ensemble vide est élément de P, c'est donc aussi sa borne inférieure et son plus petit élément.
• Tout élément de P est inclus dans l'intervalle [-1 ; 1] qui est élément de E mais pas de P. Donc [-1 ; 1] est un majorant de P, mais pas son plus grand élément. Malgré tout, c'est son plus petit majorant, donc sa borne supérieure.
• Il n'existe aucun élément de P qui soit supérieur à ]0 ; 1]. ]0 ; 1] est donc un élément maximal de P. Mais il existe des éléments de P qui ne lui sont pas comparables, par exemple [1/2 ; 3/2]. Donc ]0 ; 1] n'est pas le plus grand élément de P. Et pour cause, il existe un autre élément maximal distinct : [-1 ; 0[, donc P n'a pas de plus grand élément !