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En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point
fixe de f si f(x) = x.
Exemples :
Graphiquement, les points fixes d’une fonction f (où la variable est réelle) s’obtient en traçant la droite d’équation y = x : tous les points d’intersection de la courbe représentative de f avec cette droite sont alors les points fixes de f.
Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe; par exemple, la fonction 
n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel
x égal à x+1.
| Sommaire |
On considère la fonction continue 
et (un) la suite récurrente définie par
sa valeur initiale u0 et par la relation de récurrence un+1=f(un). Dans ce cas, si
(un) converge, elle le fait nécessairement vers un point fixe de f.
Il faut noter qu’une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.
Un point fixe attractif d’une application f est un point fixe x0 de f tel qu’il existe un voisinage de x0 sur lequel la suite de nombre réels :
converge vers x0.
Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe, qui est attractif.
Cependant, tous les points fixes d’une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle 
possède un unique point fixe en 0, qui n’est pas
attractif.
Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématiques d’attracteur.
Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu’une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe. Le plus connu est le suivant :
Soit E un espace métrique complet muni d’une distance d et une application contractante
(c’est à dire qu’il existe 
tel que pour
tous 
, 
). Alors f possède un unique point fixe
l.
Ce résultat permet de dire que toute suite de la forme converge vers l et que 
, ce qui permet d’avoir une estimation de la
vitesse de convergence de la suite.
L’automatique consiste à fabriquer des systèmes qui convergent vers un point fixe (mais réglé arbitrairement par l’opérateur) et qui se nomme le point de consigne.
