Page d'accueil
encyclopedie-enligne.com en page d'accueil| Page d'accueil |
encyclopedie-enligne.com en page d'accueil |
|||||
| Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] | Liste Catégories | Une page au hasard | Pages liées | ||||||
Un polyèdre est un solide délimité par des faces polygonales. Chaque côté de chaque polygone constituant une face coïncide avec un côté d'une autre face et chaque sommet est relié à un autre par une suite d'arêtes dont deux arêtes consécutives sont reliées par un sommet.
Il est possible de donner une définition barycentrique : Soit
, , 
, ,
points non coplanaires, on appelle polyèdre 
l'ensemble des points M barycentre de : ,
, , affectés de coefficients , , , où chaque
est positif.
Un polyèdre possède au moins : 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes.
Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur.
Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le 'polygone du sommet' (vertex figure...). Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier.
Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de 9. On appelle parfois solides réguliers uniquement les solides de Platon.
L'entourage de Platon les connaissait en 400 av JC et Euclide les étudie dans ses Elements.
Il existe cinq solides de Platon :
Les centres des faces d'un solide de Platon sont les sommets d'un solide de Platon. Cette correspondance est interne parmi les tétraèdres ; elle échange cubes et octaèdres d'une part, dodécaèdres et icosaèdres d'autre part.
Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection. Les mathématiques modernes rattachent ces exemples à la notion de groupe.
Outre les cinq solides de Platon, on peut construire quatre autres solides réguliers, deux dont les faces sont des polygones réguliers étoilés (ou croisés), les solides de Kepler, et, la notion grecque de convexité ayant été abandonnée, deux pour lesquels les faces peuvent s'interpénétrer, les solides de Poinsot.
Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont constituées de plusieurs sortes de polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques. Ainsi sont par exemple les solides archimédéens, les prismes et les antiprismes réguliers. La terminologie ne paraît pas tout à fait arrêtée. On parle parfois de solides semi-réguliers de la première espèce pour désigner ceux de ces solides qui sont convexes, et de solides uniformes pour le cas général.
Ils sont au nombre de 13, dont deux sont chiraux. Ce sont les solides
semi-réguliers convexes qui possèdent les mêmes symétries que les solides de Platon.
De gauche à droite et de haut en bas :
cube tronqué, octaèdre tronqué, tétraèdre tronqué, icosaèdre tronqué, dodécaèdre tronqué,
cuboctaèdre, snub cube (ou cube adouci, chiral), icosidodécaèdre, snub dodécaèdre (ou dodécaèdre adouci, chiral),
petit rhombicuboctaèdre, grand rhombicuboctaèdre, petit rhombicosidodécaèdre, grand rhombicosidodécaèdre.
Ce sont les solides dont les bases sont des polygones réguliers et dont les autres faces sont des carrés. On peut également
construire des antiprismes, dont les faces autres que les bases sont des triangles équilatéraux. Les bases peuvent être des
polygones étoilés, formant ainsi des prismes et des antiprismes concaves.
On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des prismes et des antiprismes. (La terminologie semble être la suivante : les solides semi-réguliers sont convexes, et ne sont donc qu'une partie des solides uniformes.)
Ce sont les duals des solides d'Archimède. Leurs faces sont toutes identiques et leurs sommets tous réguliers.
Ce sont les duals des prismes et des antiprismes semi-réguliers. Les premiers ont des faces triangulaires et les seconds des
faces quadrilatères (tétragonales). On parle parfois de bipyramides pour les diamants.
Ainsi nomme t'on parfois les polyèdres de Catalan ansi que les diamants et les anti-diamants précédents, car tous leurs
sommets sont réguliers et toutes leurs faces identiques.
Ils peuvent faire office de dés à jouer.
Ce sont les duaux des solides semi-réguliers de la première espèce.
Toutes leur faces sont régulières mais leurs sommets sont de différentes sortes. Ils sont 92, et désignés par , où est le numéro que leur a donné Johnson.
Ce sont les solides convexes constitués uniquement de triangles équilatéraux. On les note , étant le nombre de faces. En théorie il y en
a neuf, mais ne peut être construit. Ils sont donc huit : le tétraèdre
, le diamant triangulaire
(), l'octaèdre , le diamant
pentagonal (), le snub
disphénoïde (), le prisme
triangulaire triaugmenté (),
le diamant carré gyroallongé (), et l'icosaèdre .
Ils ont six faces.
Toutes ses faces sont des losanges. Hors deux polyèdres de Catalan déjà connus (le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique), on peut citer la famille des rhomboèdres, qui sont les hexaèdres dont les faces sont des losanges.
Ils sont décomposables en plusieurs solides, comme par exemple la stella octangula, formée de deux tétraèdres imbriqués, ou encore le prisme ayant pour base l'étoile de David (qui n'est pas vraiment un polygone étoilé), composé de deux prismes à base triangulaire.
Les nolides ne sont pas des solides, dans le sens que leur faces ne renferme aucun volume. Il y a par exemple deux manières de réunir trois carrés pour former quelque chose qui ressemble à un octaèdre, ou quelque chose qui ressemble à un cube.
On obtient le dual d'un solide en réunissant les milieux de chaque face. Le dual a autant de sommets que l'original a
d'arêtes, et chacun de ses sommets réunit autant de faces que la face de l'original avait de côtés. Appliquer deux fois cette
opération redonne le solide original (c'est toujours vrai ça ?).
Plus rigoureusement, l'opération de dualité est la conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.
Le cube donne l'octaèdre, le dodécaèdre l'icosaèdre et le tétraèdre est son propre dual.
Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé celui du grand icosaèdre.
Les duals des solides archimédéens sont les solides de Catalan.
Les duals des prismes sont des diamants, ou bipyramides, ceux des antisprismes des antidiamants.
| solide | dual |
|---|---|
| tétraèdre | tétraèdre |
| cube | octaèdre |
| dodécaèdre | icosaèdre |
| petit dodécaèdre étoilé | grand dodécaèdre |
| drand dodécaèdre étoilé | grand icosaèdre |
C'est l'opération qui consiste à raboter un sommet ou une arête. Ces deux opérations conservent la symétrie.
Cette opération permet d'obtenir sept des solides d'Archimède à partir des solides de Platon. On remarque en effet qu'en
rabotant de plus en plus les arêtes d'un cube on obtient successivement le cube tronqué, le cuboctaèdre, l'octaèdre tronqué et
enfin l'octaèdre. On peut évidemment suivre cette série dans l'autre sens.
En partant du dodécaèdre on obtient le dodécaèdre tronqué, l'icosidodécaèdre, l'icosaèdre tronqué, puis l'octaèdre.
Le tétraèdre donne le tétraèdre tronqué.
On peut appliquer cette opération au grand dodécaèdre ou au grand icosaèdre et obtenir des solides uniformes concaves.
À partir d'un cube, cette opération donne successivement un cuboactaèdre, un puis dodécaèdre rhombique.
À partir d'un dodécaèdre, on obtient l'icosidodécaèdre puis le triacontaèdre rhombique.
A faire.
Le facettage permet d'obtenir, entre autres, de nombreux nouveaux solides semi-réguliers concaves. On construit de nouvelles faces régulières en regroupant les arêtes d'un polyèdre semi-régulier. Le plus simple est un héptaèdre construit à partir de l'octaèdre, constitué de trois faces carrées et de quatre faces triangulaires.
Soit un polyèdre convexe, on note :
On peut démontrer qu'on a toujours : . C'est la relation d'Euler.
Par exemple :
A faire.
