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Polynôme


Un polynôme est une somme algébrique de monômes.

En algèbre, on doit faire une distinction entre les fonctions polynômes et les polynômes. Un polynôme f est défini comme une expression formelle de la forme

f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_1 X + a_0

où les coefficients a0,.., an sont des éléments d'un anneau A et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme.

L'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau A, noté A[X] est en général construit à partir de suites d'éléments de A à support fini (nulles à partir d'un certain rang). Pour une construction de A[X] voir une construction de l'ensemble des polynômes.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les suites de leurs coefficients sont égales. Les polynômes à coefficients dans A peuvent être ajoutés simplement par l'addition des coefficients correspondants et multipliés en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et les règles suivantes :

X a = a X pour tous éléments a de l'anneau A
Xk Xl = Xk + l pour tous entiers naturels k et l.

On peut alors vérifier que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients dans l'anneau A forme lui-même un anneau. L'anneau de polynômes à coefficients dans A, est désigné par A[X].

Si A est commutatif, alors A[X] est une algèbre sur A.

On peut engendrer l'anneau A[X] à partir de A en adjoignant un nouvel élément X à A et en exigeant que X commute avec tous éléments de l'ensemble A. Pour que l'ensemble obtenu devienne un anneau, toutes les sommes de puissances de X doivent être aussi adjointes à l'ensemble.

À tout polynôme f de A[X], on peut associer une fonction polynôme d'ensemble de définition et d'arrivée A. On obtient la valeur de cette fonction pour un argument donné a en remplaçant partout le symbole X dans f par a. La raison pour laquelle les algébristes doivent faire une distinction entre un polynôme et une fonction polynomiale est que sur certains anneaux A (par exemple sur les corps finis), deux polynômes différents peuvent avoir la même fonction polynôme associée. Ceci n'est pas le cas sur le corps des réels ou des complexes et donc les « analystes » ne séparent pas les deux concepts.

D'autre part, étant donné un élément d'une -algèbre , l'application qui, à tout polynôme f \in A[X], associe l'élément de (défini comme ci-dessus), est appelée morphisme d'évaluation en de dans .

En algèbre commutative, une attention particulière est portée sur l'étude de la divisibilité entre les polynômes. Si A est un corps intègre et f et g sont des polynômes dans A[X], nous dirons que f divise g s'il existe un polynôme q dans A[X] tel que f q = g. On peut démontrer alors que «chaque racine engendre un facteur linéaire», ou plus formellement: si f est un polynôme dans A[X] et a est un élément de A tel que f(a) = 0, alors le polynôme (X - a) divise f. La réciproque est aussi vraie. Le quotient peut être calculé en utilisant la méthode d'Hörner.

Division euclidienne

Si K est un corps et f et g sont des polynômes dans K[X] avec g ≠ 0, alors il existe des polynômes q et r dans K[X] avec :f = q g + r et tels que le degré de r soit strictement plus petit que le degré de g. Les polynômes q et r sont uniquement déterminés par f et g. C'est ce que l'on appelle «la division euclidienne» ou «la division suivant les puissances décroissantes» de f par g et cela montre que l'anneau K[X] est un anneau euclidien.

Voir aussi



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