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Polynôme de Bernstein

Les polynômes de Berstein sont utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier et sont définis par : $B_i^m(u) = \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} u^i \left( 1-u \right)^{m-i}$

où $\begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix}$ sont les coefficients binomiaux (ou coefficients du binôme de Newton) eux-mêmes définis par : $\begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} = \frac{m!}{(m-i)!i!}$

Ces fonctions présentent trois propriétés importantes :

$\sum_{i=0}^m B_i^m(u) = 1$

$B_i^m(u) \geq 0 \qquad \mbox{ pour } \qquad u \in [0,1]$

$B_i^m(u) = (1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u)$

Exemple : les polynômes de Berstein de degré 3 :

Image:Berstein.png

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