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Polynôme minimal

Algèbre linéaire

En algèbre linéaire, Le polynôme minimal d'une matrice carrée M d'ordre n à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ est le polynôme normalisé p(X) à coefficients dans $\mathbb{K}$ de degré minimum tel que p(M)=0. Tout autre polynôme non nul q tel que q(M)=0 est multiple de p.

Les trois propositions suivantes sont équivalentes:

λ dans $\mathbb{K}$ est une racine de p(X),
λ est une racine du polynôme caractéristique de M,
λ est une valeur propre de M.

La multiplicité d'une racine λ de p(X) est la multiplicité géométrique de λ et est égale à la taille du plus grand bloc de Jordan correspondant à λ.

Le polynôme minimal d'un endomorphisme f d'un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel E de dimension finie est le polynôme normalisé p_f(X) à coefficients dans $\mathbb{K}$ tel que le noyau de l'homomorphisme canonique $\varphi:\mathbb{K}[X]\rightarrow \mathcal{L}(E)$ soit l'idéal (p_f) de $\mathbb{K}[X]$ . p_f est aussi le polynôme de degré minimum tel que p_f(f)=0.

Théorie des corps

En théorie des corps, étant donnés une extension de corps $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ et un élément α de $\mathbb{L}$ qui est algébrique sur $\mathbb{K}$ , le polynôme minimal de α est le polynôme normalisé p, à coefficients dans $\mathbb{K}$ , de degré minimum tel que p(α)=0. Le polynôme minimal est irréductible, et tout autre polynôme non nul q tel que q(α)=0, est multiple de p.

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