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Postulat de Bertrand

Bien que démontré depuis, le postulat de Bertrand, traitant de la répartition des nombres premiers, a gardé son nom de conjecture.

Le théorème

Le postulat de Bertrand affirme que si n est un entier naturel et n > 3 alors il existe toujours au moins un nombre premier p compris entre n et 2n-2, ou sous une forme équivalente plus faible mais plus élégante, pour n > 1, il y a toujours au moins un nombre premier p tel que n < p ≤ 2n.

Historique

Cette affirmation fut pour la première fois conjecturée en 1845 par Joseph Bertrand qui la vérifia lui-même pour tous les nombres de l'intervalle [2, 3 × 10⁶]. La conjecture fut complètement démontrée en 1850 par Pafnouti Tchebychev, qui utilisa dans sa démonstration l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ainsi le postulat est-il aussi appelé théorème de Tchebychev.

Srinivasa Aaiyangar Ramanujan donna une démonstration plus simple et Paul Erdös en 1932 publia une preuve très simple dans laquelle il utilisa les coefficients binomiaux et la fonction θ, définie par:

où p parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

Théorème de Sylvester

Le postulat de Bertrand fut avancé en vue d'applications au groupe des permutations. James Joseph Sylvester le généralisa avec la proposition suivante : le produit de k entiers consécutifs supérieurs à k est divisible par un nombre premier plus grand que k.

Une conjecture similaire mais non encore résolue affirme l'existence d'un nombre premier p tel que n² < p < (n+1)².