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Plus petit commun multiple

Le plus petit commun multiple (en abrégé P.P.C.M.) de deux entiers a et b est le plus petit nombre entier strictement positif qui est un multiple des deux entiers a et b. On le note ppcm (a,b). S'il n'existe aucun tel nombre entier strictement positif, c'est-à-dire si a ou b est nul, alors ppcm (a,b) (aussi noté a⋁b) est par convention égal à zéro.

Le plus petit commun multiple est utile pour ajouter ou soustraire des fractions, parce qu'il produit un dénominateur commun. Par exemple :

2/21 + 1/6 = 4/42 + 7/42 = 11/42

On se ramène au dénominateur 42, parce que ppcm(21,6) = 42.

Dans le cas où aucun des deux entiers a et b n'est nul, le plus petit commun multiple peut être calculé en utilisant le plus grand commun diviseur (ou P.G.C.D.) de a et b,

$a \vee b = \frac{a b}{a\wedge b}$ qui s'écrit aussi $ppcm(a,b) = \frac{a b}{pgcd(a,b)}$

Ainsi, l'algorithme d'Euclide pour le calcul du P.G.C.D. nous donne aussi un algorithme rapide de calcul du P.P.C.M..

Par exemple :

le P.P.C.M. de 12 et 15 est 12 × 15/3 = 60.

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