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Pré-ordre

Un pré-ordre est une relation binaire réflexive et transitive.

C'est-à-dire, si E est un ensemble, alors ${\mathcal R}\subset E\times E$ est un pré-ordre si et seulement si :

$\forall x [x \in E \implies (x,x)\in{\mathcal R}]$ (réflexivité)
$\forall x\forall y\forall z [(x,y)\in {\mathcal R} \and (y,z)\in {\mathcal R} \implies (x,z)\in{\mathcal R}]$ (transitivité)

Un pré-ordre antisymétrique est un ordre.

Exemple : sur les sommets d'un graphe orienté, la relation « être accessible depuis » est un pré-ordre (c'est en fait la fermeture réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est sans cycle, cette relation devient un ordre.

Catégories: Théorie des ordres

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