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Préfaisceau

théorie des catégories

Un préfaisceau sur un espace topologique est un foncteur contravariant de la catégorie des ouverts de dans une autre catégorie. On peut donc avoir des préfaisceaux d'ensembles, de groupes, d'anneaux ou de tout autre type d'objets...

C'est un objet qui sert essentiellement à définir la notion de faisceau.

Vocabulaire

Soit $\mathcal F$ un préfaisceau sur un espace .

Les éléments de $\mathcal F(U)$ , pour un ouvert , sont appelés les sections du préfaisceau. Les éléments de $\mathcal F(X)$ sont appelés sections globales.

Lorsque $V\subset U$ sont des ouverts de , l'application de $\mathcal F(U)\rightarrow\mathcal F(V)$ induite par le préfaisceau est appelée restriction. D'ailleurs, la restriction d'une section de à est notée , comme la restriction d'une application.

Exemples

sur tout espace topologique, on peut considérer le préfaisceau des fonctions constantes à valeurs dans n'importe quel ensemble;
sur tout espace topologique, on peut considérer le préfaisceau des fonctions localement constantes à valeurs dans n'importe quel ensemble; c'est même un exemple de faisceau;
sur une variété différentielle, on a le faisceau des fonctions $C^\infty$ ;
sur une variété holomorphe, on a le faisceau des fonctions holomorphes.

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