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Nombres premiers entre eux

En mathématiques, des entiers a et b sont dit premiers entre eux si, par définition, ils n'ont aucun facteur premier en commun ou autrement dit s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et -1 en commun. On dit aussi que a est premier avec b. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux si et seulement si leur plus grand commun diviseur est égal à 1.

Par exemple, 6 et 35 sont premiers entre eux, mais 6 et 27 ne le sont pas parce qu'ils sont tous les deux divisibles par 3. 1 est premier avec tout entier; 0 est uniquement premier avec 1 et -1.

Un moyen rapide pour déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux est l'algorithme d'Euclide.

Propriétés

Théorème de Bachet de Méziriac

Les nombres entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe des entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1 (voir identité de Bézout).

De façon équivalente, b a un inverse pour la multiplication modulo a : il existe un nombre entier y tel que by ≡ 1 (mod a).

Théorème de Gauss

Si a et b sont premiers entre eux et a divise un produit bc, alors a divise c.

Si a et b sont premiers entre eux et bx ≡ by (mod a), alors x ≡ y (mod a). En d'autres termes: b est simplifiable dans l'anneau Z_a des entiers modulo a.

Les deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si le point de coordonnées (a,b) dans un repère cartésien est « visible » de l'origine (0,0), dans le sens où il n'y a pas de point de coordonnées entières entre l'origine et (a,b).

La probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à 6/π² (Voir Pi).

Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si et seulement si les nombres 2^a-1 and 2^b-1 sont premiers entre eux.

Généralisation

Deux idéaux I et J dans un anneau commutatif A sont dits premiers entre eux si I + J = A. Ceci généralise l'identité de Bezout. Si I et J sont premiers entre eux, alors IJ = I∩J; de plus, si K est un troisième idéal tel que I contient JK, alors I contient K.

Avec cette définition, deux idéaux principaux (a) et (b) dans l'anneau des nombres entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si a et b sont premiers entre eux.

Voir aussi: plus grand commun diviseur