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Hydrostatique

L'hydrostatique est l'étude des fluides immobiles. C'est de loin le cas le plus simple de la mécanique des fluides, mais il est cependant riche d'enseignements.

Sommaire

1 Pression dans un fluide

1.1 Cas d'un fluide incompressible au repos dans un champ de pesanteur uniforme
1.2 Baromètre
1.3 Écarts à ce cas idéal

2 Application

2.1 Mesure de pression
2.2 Pression de l'eau
2.3 Météorologie

Pression dans un fluide

Expérimentalement, on constate que la pression dans l'eau ne dépend que de la profondeur et pas de la direction. En effet, si l'on prend une petite boîte rigide ouverte d'un côté et que l'on tend une membrane élastique, cette boîte enfermant de l'air à pression atmosphérique, et que l'on plonge cette boîte dans l'eau, la déformation de la membrane permet de visualiser la différence de pression entre l'air et l'eau, et celle-ci ne dépend que de la profondeur, pas de l'orientation de la boîte ni de sa position dans le plan horizontal.

Convention : dans l'exemple qui suit, nous orientons l'axe vertical vers le bas (z croît lorsque l'on descend).

Cas d'un fluide incompressible au repos dans un champ de pesanteur uniforme

Le fluide étant incompressible, il transmet intégralement les efforts. La pression à une profondeur z résulte donc de la pression P₀ qu'exerce l'air en surface, et du poids p de la colonne d'air au-dessus de la membrane.

Supposons que la membrane soit horizontale et orientée vers le haut, et que son aire est S. La colonne d'eau située au-dessus a pour volume S·z, donc pour masse ρ·S·z si ρ est la masse volumique de l'eau. Le poids de l'eau est donc

$p = \rho \cdot g \cdot (S \cdot z)$

où g est l'accélération de la gravité, et la membrane alors elle est doncsoumise au-dessus à une force F

$F = P_0 \cdot S + \rho \cdot g \cdot (S \cdot z)$

soit une pression

$P = \frac{F}{S} = P_0 + \rho \cdot g \cdot z$

C'est cette variation de la pression en fonction de la profondeur qui crée la poussée d'Archimède.

Baromètre

Mettons un liquide dans un tube fermé d'un côté ; ce tube est immergé dans une bassine de liquide (il se rempli intégralement), puis le le place verticalement, le côté fermé en haut, le côté ouvert trempant dans la bassine.

La pression atmosphérique s'exerçant sur la surface du liquide dans la bassine fait monter le liquide dans le tube. Si le tube est suffisamment grans, on va avoir du vide au-dessus de la colonne de liquide dans le tube (en fait, il s'y trouve un peu de vapeur de liquide à une pression très faible, la pression de vapeur saturante).

En mesurant la hauteur h de la colonne, on peut déterminer la pression atmosphérique :

$P_0 = \rho \cdot g \cdot h$

Cette hauteur vaut environ à 10 m si le liquide est de l'eau, et à 76 cm si c'est du mercure. On a ainsi un baromètre.

Prenons maintenant un tube en forme de U dont chacune des extrémité est ouverte et reliée à une enceinte étanche. Le tube contient un liquide. Si la pression régnant dans les deux enceinte est identique, la hauteur de liquide est identique dans les deux branches. Si la hauteur d'iffère d'une valeur δh, alors la différence de pression vaut :

$\delta P = \rho \cdot g \cdot \delta h$

On exprime ainsi parfois une faible surpression en hauteur de la colonne d'eau (mmCE).

Écarts à ce cas idéal

Lorsque l'on considère de grandes variations d'altitude, on ne peut plus considérer le champ de gravité comme constant, g dépend donc de z. Et lorsque le fluide est un gaz, on ne peut plus considérer celui-ci comme incompressible, donc ρ dépend également de z ; mais ceci n'est sensible que pour des variations de pression significatives, donc ρ étant faible dans le cas d'un gaz, ceci n'intervient que pour des variations de z assez grandes.

Localement, pour de petites variations dz de z, on peut toujours écrire :

$P(z+dz) = P(z) + \rho(z) \cdot g(z) \cdot dz$

Il faut alors intégrer cette loi :

$P(Z) = P(z_0) + \int_0^{z_0} \rho(z) \cdot g(z) \cdot dz$

si l'on connaît la loi de comportement du gaz, par exemple s'il s'agit d'un gaz parfait, alors pour une masse m de gaz donnée, on peut relier le volume V à la pression P, donc la masse volumique ρ à la pression P :

$\rho = \rho_0 \cdot \frac{P}{P_0}$

si ρ₀ et P₀ sont des valeurs à une altitude z₀ de référence.

Par ailleurs, la variation de la pesanteur se calcule avec la loi de Newton.

Dans le cas de l'atmosphère, il faut de plus prendre en compte la variation de température et la variation de composition.

Application

Mesure de pression

Baromètre de Toriccelli, baromètre en U.

Pression de l'eau

Pompage par aspiration, plongée sous-marine, osmose inverse.

Météorologie

En météorologie, l'approximation hydrostatique stipule que la composante verticale de la force de pression est en équilibre exact avec la force gravitationnelle. Elle permet de négliger, dans le calcul de la pression le long de l'axe vertical, les forces dues :

au mouvement horizontal ou vertical de l'air, et
à la force de Coriolis.

Il s'ensuit que la pression, en tout point du volume atmosphérique, est uniquement et directement proportionnelle au poids de la colonne d'air au-dessus de ce point. Cette approximation est valide à un grand degré de précision dans un très grand nombre des états naturels de l'atmosphère.

Catégories: Mécanique des fluides | Météorologie

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