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En mathématiques, il y a de fausses démonstrations qui permettent de
montrer que 1 est égal à -1.
En voici une utilisant la racine carrée.
On commence par écrire:
Ensuite on transforme sous forme de quotients :
Mais puisque (voir nombre imaginaire), on peut remplacer, pour obtenir
On prend la racine carrée des deux côtés ce qui donne :
Qui est équivalent à
En réarrangeant la relation afin de faire disparaître les quotients, on obtient
Et puisque , nous avons alors
Cette démonstration est fausse car la racine carrée ne s'applique qu'à des réels positifs. Or
Ce sont des réels strictement négatifs, donc les expressions suivantes sont indéfinies
Une expression indéfinie est une écriture qui peut s'appliquer à plusieurs valeurs différentes à la fois. Exprimer une égalité de valeurs indéfinies est donc absurde et toute la suite de la démonstration est erronée.
Pour détailler le cheminement jusqu'au faux résultat, on remarquera d'abord la transformation des expressions indéfinies en de nouvelles expressions indéfinies : lors de la séparation en deux racines, l'une au numérateur et l'autre au dénominateur, n'est toujours pas un réel positif et n'admet donc toujours pas de racine carrée. Puis on nous montre la simplification
Mais on occulte ce qui aurait pu être aussi
Chacune de ces valeurs est l'inverse de l'autre, voilà pourquoi on ne remarque pas la différence dans la disposition sous forme de fraction. On simplifie finalement par pour revenir aux nombres réels, et on a obtenu le faux résultat final.
