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Primorielle

Pour n>1, la primorielle n notée n# ou P(n) est le produit de tous les nombres premiers inférieurs (ou égaux) à n. Par exemple, 210 est une primorielle qui est le produit des quatre premiers nombres premiers (2 x 3 x 5 x 7). Ces nombres furent nommés ainsi par Harvey Dubner. Les premières primorielles sont

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410. (suite A002110 dans l'encyclopédie électronique des suites entières)

Ils croissent très rapidement.

L'idée de multiplier des nombres premiers consécutifs, apparaît dans la démonstration de l'infinitude des nombres premiers ; elle est utilisée pour montrer une contradiction dans l'hypothèse où il y aurait un nombre fini de nombres premiers. Les primorielles jouent un rôle important dans la recherche des nombres premiers dans des progressions arithmétiques additives. Par exemple 2236133941 + P(23) donne un nombre premier, commençant une suite de treize nombres premiers obtenus en additionnant de façon répétitive P(23), et en terminant par 5136341251+P(23).
P(23) et est également la différence commune entre les progressions arithmétiques de quinze et seize nombres premiers.

Tout nombre hautement composé est un produit de primorielles (exemple 360= 2x6x30).

Table des primorielles

 p: P(p) (p premier)
--- ------------
 2: 2
 3: 6
 5: 30
 7: 210
 11: 2310
 13: 30030
 17: 510510
 19: 9699690
 23: 223092870
 29: 6469693230
 31: 200560490130
 37: 7420738134810
 41: 304250263527210
 43: 13082761331670030
 47: 614889782588491410
 53: 32589158477190044730
 59: 1922760350154212639070
 61: 117288381359406970983270
 67: 7858321551080267055879090
 71: 557940830126698960967415390
 73: 40729680599249024150621323470
 79: 3217644767340672907899084554130
 83: 267064515689275851355624017992790
 89: 23768741896345550770650537601358310
 97: 2305567963945518424753102147331756070