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Principe du tiers exclu



Le Principe du tiers exclu affirme que si R est une proposition logique, alors la proposition « R ou (non R) » est vraie. Cela signifie qu'une relation ne peut être que vraie ou fausse, mais qu'il n'y a pas de troisième état. Une autre façon de le formuler en logique classique est : non(non(R))= R.

Pour Aristote le principe du tiers exclu est une conséquence du principe de non contradiction et de la «définition logique de la vérité».

Le principe de non contradiction dit que pour toute proposition R, « R et (non R) » est fausse.

En logique classique, où non(non(R)) = R, ce principe est équivalent à celui du tiers exclu :

non contradiction : non (R et (non(R)) <=> non(R) ou non(non(R) <=> non(R) ou R <=> R ou non(R) (tiers exclus)

Ce n'est toutefois pas le cas dans tous les formalismes logiques, et en particulier en logique intuitionniste, qui conserve le principe de non-contradiction mais n'utilise pas le « principe » du tiers exclus. En logique intuitionniste, nous ne pouvons pas dire que « R ou (non R) » est vraie a priori pour toute proposition R, il faut le démontrer pour chaque proposition R (et, dans certains, cela sera impossible sans introduire un nouvel axiome). Pour un mathématicien intuitionniste, le principe du tiers exclu est au mieux inutile (pour les démonstrations qu'on pourrait faire sans l'utiliser), au pire stérilisant (il tranche des propositions indécidables, sans que cela résulte d'une décision consciente et délibérée, sachant qu'à chaque fois on peut créer plusieurs formalismes distincts et potentiellement féconds).

Un exemple de raisonnement faisant appel au tiers-exclu est le suivant: nous voulons démontrer l'implication

\forall a,b \in \mathbb R, ab=0 \Rightarrow a=0 \ {\rm ou}\ b=0

pour cela, nous pouvons considérer la proposition R: « a=0 » et utiliser le principe du tiers exclu pour R. Il y a alors deux cas à examiner:

Dans l'implication précédente, un mathématicien intuitionniste refusera de conclure que a=0 ou b=0, parce qu'il ne peut pas prouver que « a=0 ou non(a=0) » est vraie (l'égalité sur les réels étant indécidable).

Toutefois, la logique intuitionniste n'est pas fondamentalement plus faible que la logique classique : pour toute proposition R prouvable en logique classique, il existe une proposition R' (qui peut être identique à R) telle que R et R' sont équivalents au sens de la logique classique, et R' est prouvable en logique intuitionniste. Dans notre exemple, cette proposition R' serait « non(ab=0 et non(a=0) et non(b=0)) ».

Le raisonnement par l'absurde se repose sur le principe du tiers exclu. En effet, il fonctionne sur le mécanisme suivant : je veux prouver R. Pour cela, je suppose « non(R) » et je tombe sur une contradiction : c'est donc que « non(R) » est fausse, et d'après le principe du tiers exclu, que « R » est vraie. En logique intuitionniste, cette dernière étape est impossible: de « non(R) » est fausse, on peut juste conclure « non(non(R)) » est vraie, mais ce n'est pas équivalent à « R » est vraie comme en logique classique (on a juste l'implication R\Rightarrow {\rm non}({\rm non}(R)), mais non la réciproque).



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