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Produit d'anneaux

En algèbre abstraite, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit. Cette construction peut se faire de la manière suivante: si I est un ensemble d'indices et A_i est un anneau pour tout indice i de I, alors le produit cartésien Π_{i dans I} A_i peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e.

(a_i) + (b_i) = (a_i + b_i)

(a_i) · (b_i) = (a_i · b_i).

À la place de Π_1≤i≤k A_i nous pouvons aussi écrire A₁ × A₂ × ... × A_k.

Exemples

L'exemple le plus important est l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$ des entiers modulo n (voir arithmétique modulaire). Si n s'écrit comme un produit de puissances de facteurs premiers (voir le théorème fondamental de l'arithmétique):

n = p₁^n₁ p₂^n₂ ... p_k^n_k

où les p_i sont tous distincts, alors $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est naturellement isomorphe à l'anneau produit

$\mathbb Z/{p_1}^{n_1}\mathbb Z\times \mathbb Z/{p_2}^{n_2}\mathbb Z\times \cdots \mathbb Z/{p_k}^{n_k}\mathbb Z$

Cela découle du théorème chinois.

Propriétés

Si A = Π_{i dans I} A_i est un produit d'anneaux, alors pour tout i dans I nous avons un homomorphisme d'anneaux surjectif p_i : A → A_i qui projette un élément du produit sur la ième composante. Le produit A, ainsi que les projections p_i, possèdent la propriété universelle suivante:

si B est un anneau quelconque et f_i : B → A_i est un morphisme d'anneaux pour tout i dans I, alors il existe un unique morphisme d'anneaux f : B → A tel que pour tout i dans I, p_i o f = f_i.

Si I est un idéal (à gauche, à droite ou des deux côtés) de A, alors il existe des idéaux (à gauche, à droite ou des deux côtés respectivement) I_i de A_i tels que I = Π_{i dans I} I_i. Inversement, un tel produit d'idéaux est un idéal de A. I est un idéal premier de A si et seulement si tous les I_i sauf un sont égaux à A_i et le restant I_i est un idéal premier de A_i.

Un élément x de A est inversible si et seulement si toutes ses composantes sont inversibles, i.e. si et seulement si p_i(x) est un élément inversible de A_i pour tout i de T. Le groupe des éléments inversibles de A est le produit des groupes des inversibles de A_i.

Un produit de plus d'un anneau non nul a toujours des diviseurs de zéro : si x est un élément du produit dont les composantes sont nulles sauf p_i(x), et y est un élément du produit dont toutes les composantes sont nulles sauf p_j(y) (avec i ≠ j), alors xy = 0 dans l'anneau produit.

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