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Produit direct

En mathématiques, il est souvent possible de définir un produit direct d'objets donnés, pour en obtenir un nouveau. Des exemples sont les produits de groupes (décrits plus bas), les produits d'anneaux et d'autres structures algébriques. Le produit d'espaces topologiques est un autre exemple.

En théorie des groupes nous définissons le produit direct de deux groupes G et H, noté G×H:

• comme un ensemble d'éléments du produit cartésien, G× H constitué des couples formés d'un élément de G et d'un élément de H, égal à {(g, h) avec g dans G, h dans H};
• muni d'un loi définie comme une opération terme à terme :
  (g, h) * (g' , h' ) = (g*g' , h*h' )
  (ici nous désignons, comme d'habitude, par « * » les lois de G et de H, ou aussi bien celle que nous venons de définir).

Cette ensemble ainsi construit est un nouveau groupe. Il a un sous-groupe distingué isomorphe à G (ensemble des éléments de la forme (g, 1), g parcourant G), et isomorphe à H (comprenant les éléments de la forme (1, h), h parcourant H).

Comme exemple, considérons G et H égaux à l'unique groupe d'ordre 2 (à un isomorphisme près), : disons {0, a} et {0, b} muni d'une loi additive. Alors G×H = {(0,0), (0,b), (a,0), (a,b)}, avec l'opération élément par élément notée +. Par exemple, (0,b)+(a,0) = (0+a, b+0) = (a,b), et (0,b)+(0,b) = (0,2b) = (0,0).