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Produit eulérien

En mathématiques, un produit Eulérien est un développement en produit infini, indexé par des nombres premiers p, d'une série de Dirichlet. Le nom provient du cas de la fonction Zeta de Riemann, où une telle représentation sous forme de produit fut démontrée par le mathématicien suisse Leonhard Euler.

En général, une série de Dirichlet de la forme

$\sum_{n} a(n)n^{-s}\,$

où $a(n)\,$ est une fonction multiplicative de n peut être écrite sous la forme

$\prod_{p} P(p,s)\,$

où $P(p,s)\,$ est la somme

$1 + a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \ldots\,$ .

En fait, si nous considérons ceci comme des fonctions génératrices formelles, l'existence d'un tel développement formel en produit eulérien est une condition suffisante et nécessaire pour que $a(n)\,$ soit multiplicative : ceci dit exactement que $a(n)\,$ est le produit de $a(p^k)\,$ lorsque n factorise le produit de puissances $p^k\,$ des nombres premiers distincts p.

Dans la pratique, tous les cas importants sont tels que la série infinie et le développement en produit infini sont absolument convergents dans une certaine région

c'est à dire, dans un certain demi-plan droit des nombres complexes. Ceci nous donne déjà quelques informations, puisque le produit infini, pour converger, doit donner une valeur différente de zéro ; donc la fonction donné par la série infinie n'est pas zéro dans un tel demi-plan.

Un cas particulier important est celui dans lequel $P(p,s)\,$ est une série géometrique, car $a(n)\,$ est totalement multiplicative. Alors, nous aurons

$P(p,s) = \frac{1}{(1 - a(p)p^{-s}}\,$

comme c'est le cas pour la fonction zeta de Riemann (avec $a(n) = 1\,$ ), et plus généralement pour les caractères de Dirichlet. Dans la théorie des formes modulaires il est typique d'avoir des produits eulérien avec en dénominateur des polynômes quadratiques. Le programme de Langland général inclus une explication comparative de la connexion de polynômes de degré m, et de la théorie de la représentation pour $GL_m\,$ .

Catégories: Théorie des nombres

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