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Produit scalaire

Sommaire

1 Définition

2 Structures induites par le produit scalaire

3 Orthogonalité et angle

4 Produit scalaire canonique de ℝn

5 Exemple

Définition

Soit E un espace vectoriel réel.

L'application :

$E\times E \to \R$

$(x,y) \mapsto (x|y)$

est un produit scalaire réel si et seulement si elle est :

bilinéaire : est linéaire par rapport à chacune de ses variables
symétrique : $\forall x,y \in E , \, (x|y) = (y|x)$
positive : $\forall x \in E, (x|x) \ge 0$
définie : $(x|x)=0 \Rightarrow x=0$

On note la norme (dite « euclidienne ») du vecteur :

$\left| \left| x \right| \right|_2 = \sqrt{(x|x)}$ , ou bien simplement $\left| \left| x \right| \right|$ s'il n'y a pas ambiguïté.

On peut étendre cette définition à un espace vectoriel complexe : on parle alors de produit scalaire hermitien.

Structures induites par le produit scalaire

Un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien.
Un espace vectoriel réel de dimension quelconque muni d'un produit scalaire est appelé espace préhilbertien réel.
Un espace préhilbertien (réel) est appelé espace de Hilbert (réel) s'il est complet.

En particulier, un espace euclidien est un espace préhilbertien réel. Comme sa dimension est finie, sa norme euclidienne le munit d'une métrique complète et c'est donc aussi un espace de Hilbert réel.

Ainsi on ne parlera dans la pratique d'espaces préhilbertiens ou de Hilbert qu'en dimension infinie.

Orthogonalité et angle

Deux vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si .

L'angle entre deux vecteurs a et b peut être défini à partir de leur produit scalaire par la formule

$(x|y) = ||x||\cdot||y||\cdot\cos( \theta)$

Produit scalaire canonique de ℝⁿ

Dans l'espace $\R ^n$ , on a un produit scalaire défini comme suit : $\big( (x_0,x_1,...,x_n) | (y_0,y_1,...,y_n)\big) = x_0\cdot y_0 + x_1\cdot y_1 + \dots + x_n\cdot y_n$