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Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires |
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L'étude élémentaire des puissances se fait dans le cadre de l'algèbre
élémentaire.
La notion de puissance est un cas particulier de celle de produit ; par exemple le produit a×b×c est le résultat de la
multiplication de a, b et c.
La puissance à exposant positif d'un nombre entier est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même un
certain nombre de fois ; par exemple la puissance cubique du nombre a, notée a3, est le produit
a×a×a. En somme la puissance est à la multiplication ce que la multiplication est à l'addition.
On introduit ensuite les puissances à exposant négatif, inverses des puissances à exposant positif, par exemple
a-3 vaut :
Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10-5, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.
| Sommaire |
On considère un nombre a quelconque et un entier
naturel n non nul. La puissance énième de a, notée an et lu « a
puissance n », est le résultat de la multiplication de ce nombre a par lui-même n
fois :
n est appelé l'exposant de la puissance an.
n étant un nombre positif, car entier naturel, an est une puissance à exposant positif de
a.
On appelle a2 la puissance carrée, ou le carré, de a.
On appelle a3 la puissance cubique, ou le cube, de a.
Attention, une puissance à exposant positif n'est pas forcément un nombre positif ; par exemple (- 2)3, puissance
cubique de - 2, est bien une puissance à exposant positif, car l'exposant 3 est un entier naturel, mais
(-2)3=(-2)×(-2)×(-2)=-8<0.
On remarque facilement que quelque soit l'entier naturel n non nul, 0n = 0.
Pour tout nombre a non nul, on pose par convention que a0=1. Le cas 00 reste sujet à
polémique.
On considère maintenant un nombre a non nul et un entier naturel n. Le nombre a-n, lu « a puissance moins n », est l'inverse de la puissance énième de a, c'est-à-dire :
On comprend qu'il a fallu exclure 0 de cette définition car l'inclure serait revenu à vouloir diviser par 0, ce qui est
impossible.
-n est l'exposant de la puissance a-n.
-n étant négatif, car n est un entier naturel, a-n est une puissance de a
à exposant négatif.
Attention, comme précédemment, une puissance de a à exposant négatif n'est pas forcément négative ; par exemple
3-4, l'inverse de la puissance quatrième de 3, est bien une puissance à exposant négatif, car -4 est un entier
négatif, mais :
Il n'y a pas de formule générale sur les additions ou les soustractions de puissances sauf la factorisation de et le développement de .
En revanche, pour les multiplications et les divisions de puissances on sait que, pour tous nombres a et b et
pour tous entiers naturels m et n non nuls :
pour tout non nul
pour tout
non nul
Ces formules sont encore valables si m et/ou n sont des entiers strictement négatifs à condition que
a, comme b, soit non-nul.
On remarque que la convention « a0=1 pour tout nombre a non nul » est cohérente avec ces
formules ; en particulier, pour tout entier naturel n non-nul et pour tout réel a non nul :
et
.
Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissances. Leur intérêt réside dans le fait que notre écriture est décimale.
Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc, multiplier par 10n pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite et diviser par 10n pour tout n entier positif, revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi
Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.
L'utilisation des puissances de 10 intervient
où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre compris entre 1 et 10 avec une puissance de 10
où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 1000 avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3.
