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Quadruplet de nombres premiers

Un quadruplet de nombres premiers est un groupe de quatre nombres premiers, constitué de deux paires de nombres premiers jumeaux séparés par seulement trois nombres composés consécutifs, précisément, un multiple de 2, un multiple de 15 et un autre multiple de 2. À partir du plus petit nombre premier p du quadruplet, les autres nombres premiers sont p + 2, p + 6 et p + 8. Les premiers petits quadruplets de nombres premiers sont :

(11, 13, 17, 19)

(101, 103, 107, 109)

(191, 193, 197, 199)

(821, 823, 827, 829)

(1481, 1483, 1487, 1489)

(1871, 1873, 1877, 1879)

(2081, 2083, 2087, 2089)

(3251, 3253, 3257, 3259)

(3461, 3463, 3467, 3469)

(5651, 5653, 5657, 5659)

(9431, 9433, 9437, 9439)

(13001, 13003, 13007, 13009)

(15641, 15643, 15647, 15649)

(15731, 15733, 15737, 15739)

(16061, 16063, 16067, 16069)

(18041, 18043, 18047, 18049)

(18911, 18913, 18917, 18919)

(19421, 19423, 19427, 18429)

(21011, 21013, 21017, 21019)

(22271, 22273, 22277, 22279)

(25301, 25303, 25307, 25309)

(31721, 31723, 31727, 31729)

(34841, 34843, 34847, 34849)

(43781, 43783, 43787, 43789)

(51341, 51343, 51347, 51349)

(55331, 55333, 55337, 55339)

(62981, 62983, 62987, 62989)

(67211, 67213, 67217, 67219)

(69491, 69493, 69497, 69499)

(72221, 72223, 72227, 72229)

(77261, 77263, 77267, 77269)

(79691, 79693, 79697, 79699)

(81041, 81043, 81047, 81049)

(82721, 82723, 82727, 82729)

(88811, 88813, 88817, 88819)

(97841, 97483, 97487, 97489)

(99131, 99133, 99137, 99139)

Il existe deux cas particuliers de quadruplets de nombres premiers, qui ne sont pas centrés autour d'un 15 : (2, 3, 5, 7), et (5, 7, 11, 13).

On ignore s'il existe beaucoup de quadruplets de nombres premiers de manière infinie. Démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux ne démontrera pas nécessairement qu'il existe aussi une infinité de quadruplets de nombres premiers.

En utilisant Mathematica, on peut chercher les multiples de 15 qui centrent les quadruplets de nombres premiers avec les commandes suivantes,

Select[Range[10000], PrimeQ[# * 15 - 4] && PrimeQ[# * 15 - 2] && PrimeQ[# * 15 + 2] && PrimeQ[# * 15 + 4] &]
% * 15

on peut substituer un autre entier à 10 000 dans la fonction Range si on le désire.

Un des plus grand quadruplet de nombres premiers connu est centré autour de 10⁶⁹⁹ + 547634621255.