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Quasigroupe

En mathématique, un quasigroupe est un magma dans lequel la division est toujours possible.

Un quasigroupe est un ensemble Q muni d'une loi de composition interne, ici notée *, tel que pour tout a et b élément de Q il existe une solution unique pour les équations a * x = b et y * a = b. Dans cette encyclopédie, nous présumons que les quasigroupes sont non vides.

Notons que, dans les quasigroupes, tout élément est régulier, en effet si a * b = a * c, alors b = c. Ceci parce que x = b est certainement solution de a * b = a * x, et que cette solution est unique. De la même façon si a * b = c * b, alors a = c.

La table de multiplication d'un quasigroupe fini est appelé un carré latin : une matrice n × n remplie avec n symboles différents d'une telle façon que chaque symbole apparaisse exactement une fois par ligne et une fois par colonne.

Un quasigroupe avec un élément neutre est appelé une boucle (loop en anglais). D'après la définition d'un quasigroupe, tout élément d'une boucle a un inverse à droite et un inverse à gauche.

Une boucle de Moufang est un quasigroupe Q dans lequel (a * b) * (c * a) = (a * (b * c)) * a, pour tout a, b et c dans Q. Comme le nom le suggère, une boucle de Moufang est une boucle : pour tout a de Q, et e élément de Q tel que a * e = a alors pour tout x dans Q, (x * a) * x = (x * (a * e)) * x = (x * a) * (e * x), donc x = e * x et e un élément neutre à gauche. Pour tout b appartenant a Q tel que b * e = e alors y * b = e * (y * b), car e est neutre à gauche, ainsi (y * b) * e = (e * (y * b)) * e = (e * y) * (b * e) = (e * y) * e = y * e donc y * b = y, et b est neutre a droite. Enfin, e = e * b = b, donc b est un élément neutre.

Tout groupe est un quasigroupe, parce que a * x = b si et seulement si x = a^-1 * b, et y * a = b si et seulement si y = b * a^-1. De plus un quasigroupe associatif est une boucle de Moufang et une boucle associative est un groupe. Ceci montre que l'ensemble des groupes est exactement l'ensemble des quasigroupes associatifs. La théorie des boucles est similaire à celle des groupes.

Exemples de quasigroupes

• Tout groupe.
• Tout système triple de Steiner.
• L'ensemble des éléments non nuls d'une algèbre sur un corps de base de dimension finie avec des diviseurs non nuls. (Par exemple les octonions non nuls).
• Rⁿ avec l'opération x * y = (x + y) / 2. Plus généralement, tout espace vectoriel sur un corps de caractéristique différente de 2 muni de cette opération est un quasigroupe.

Voir aussi

• Structures algébriques