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Racine (mathématiques)

L'ensemble des racines (ou des zéros) d'une fonction f définie sur D est l'ensemble des points de D sur lesquels f s'annule, c'est-à-dire l'ensemble $\{x \in D / f(x)=0 \}$ .

Par exemple, l'application réelle f : x → cos(x) admet pour racines tous les réels de la forme π/2 + kπ (k∈ Z).

La racine carrée d'un réel r≥ 0 est l'unique racine positive du polynôme réel X²-r. Elle est notée $\sqrt r\ ou\ r^{\frac 1 2}$ . Un complexe c non nul admet toujours deux racines carrées: ce sont les racines du polynôme X²-c.

La racine n-ième d'un réel r≥ 0 est l'unique racine positive du polynôme réel Xⁿ-r. Elle est notée $\sqrt[n] r\ ou\ r^{\frac 1 n}$ . Un complexe c non nul admet toujours n racines n-ièmes: ce sont les racines du polynôme Xⁿ-c.

L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, noté $\mathcal U_n$ , est formé des n racines du polynôme complexe Xⁿ-1. Il s'agit d'un sous-groupe du groupe multiplicatif des complexes de module 1. Il est formé des éléments $\{ 1, e^{i\frac {2\pi}{n}}, e^{i\frac {4\pi}{n}}, \ldots, e^{i\frac {(n-2)\pi}{n}} \}$

Les racines n-ièmes primitives de l'unité constituent un sous-ensemble générateur de $\mathcal U_n$ . Il est formé des éléments $e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ où k est premier avec n. Son cardinal est égal à φ(n) où φ désigne l'indicatrice d'Euler.

Une part importante des mathématiques s'est développée autour de la recherche de racines de fonctions, et plus particulièrement des polynômes. L'étude des racines de polynômes de degré 3 a mené à la découverte des nombres complexes. De nombreux polyômes réels n'admettent pas de racine réelle, toutefois, le théorème de d'Alembert affirme que tout polynôme de degré n admet n racines complexes, comptées avec leurs multiplicité.

Un des plus importants problèmes irrésolus à ce jour en mathématiques concerne la localisation des racines de la fonction Zeta de Riemann.

Voir aussi

Racines de fonctions polynômes.

Catégories: Analyse

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