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Règle de l'Hôpital

La règle de l'Hôpital en analyse utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients. Si nous essayons de déterminer la limite d'un quotient de fonctions f/g, et que le numérateur et le dénominateur tendent à la fois vers 0 ou l'infini, alors nous pouvons dériver le numérateur et le dénominateur et déterminer la limite du quotient des dérivées. Si elle existe, la règle affirme que cette limite sera égale à la limite cherchée. Énonçons les deux règles de l'Hôpital :

Théorème : Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et différentiables sur ]a, b[. On suppose que f(b)=g(b)=0 et que pour tout x de ]a, b[, $g'(x)\neq 0$ . Alors sous réserve d'existence de la seconde limite :

$\lim_{x\rightarrow b} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Théorème : Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et différentiables sur ]a, b[. On suppose que $\lim_{x\rightarrow b} f(x)=\lim_{x\rightarrow b} g(x)=\infty$ et que pour tout x de ]a, b[, $g'(x)\neq 0$ . Alors sous réserve d'existence de la seconde limite :

$\lim_{x\rightarrow b} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Par exemple, étudions un cas d'indétermination de la forme « 0/0 »:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1$

et un cas d'indétermination de la forme « ∞/∞ »:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = \infty$

Parfois, même les limites qui n'apparaissent comme des limites de quotients peuvent être obtenues avec cette règle:

$\lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\left(x + \sqrt{x^2 - x}\right) \left(x - \sqrt{x^2 - x}\right)}{x + \sqrt{x^2 + x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 + x}}$

$\mbox{ } = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + \sqrt{x^2 + x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2x + 1}{2 \sqrt{x^2 + x}}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

La règle porte le nom d'un mathématicien français du XVIIe siècle, Guillaume François Antoine, le Marquis de l'Hôpital (1661 - 1704), qui a publié la règle dans son livre Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), le premier livre de calcul différentiel à avoir été écrit.

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