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Relation (mathématiques)

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En algèbre abstraite, la notion de relation est une abstraction de relations telles que l'égalité, « plus grand que », ou l'ordre alphabétique.

Informellement, une relation sur un ensemble est une proposition qui lie un certain nombre d'éléments. Sur un ensemble constitué de personnes, par exemple, on pourrait définir une relation « Alice aime Bernard », ou « Cecile connaît David »... On peut donc voir la relation comme étant des fils reliant des éléments de deux ensembles.

Formellement, deux éléments mis dans un ordre particulier forment ce que l'on appelle en mathématiques un « couple », noté entre parenthèses. Le relation est définie comme un ensemble de couples, c'est-à-dire que si deux éléments sont reliés entre eux, alors le couple est un élément de l'ensemble relation. Par exemple, pour la relation aime, si « Alice aime Bernard », alors le couple (Alice,Bernard) fait partie de l'ensemble aime, ce que l'on note :

$(\mathrm{Alice,Bernard}) \in aime$

On note que l'ordre dans le couple a de l'importance, car si « Alice aime Bernard », le contraire n'est pas forcément vrai, on peut avoir

$(\mathrm{Bernard,Alice}) \notin aime$

Si l'on appelle P l'ensemble des personnes, alors l'ensemble des couples de personnes de P est appelé « produit cartésien de P par P » et est noté $P \times P$ et l'ensemble aime est alors un sous-ensemble de $P \times P$ .

Sommaire

1 Définition

2 Notation

3 Composer deux relations

4 Comparer des relations

5 Relation fonctionnelle

6 Propriétés des relations sur un ensemble

6.1 Exemples
6.2 Inverser une relation
6.3 Relation réflexive
6.4 Relation symétrique
6.5 Relation antisymétrique
6.6 Relation transitive
6.7 Relation d'équivalence
6.8 Classe d'équivalence
6.9 Relation d'ordre

Définition

Une relation d'un ensemble dans un ensemble , est une partie du produit cartésien:

$R\subset E\times F$ .

Une relation sur un ensemble est une relation de dans .

Notation

Quand on a une relation sur , on note souvent ou (plus rarement) pour dire:

$(x,y)\in R$

Cette dernière notation permet aussi d'envisager la relation comme une fonction qui, pour chaque paire d'éléments, donne un « vrai » ou « faux ». On peut donc envisager le codomaine de cette fonction comme étant l'ensemble { 0, 1 }. Si on choisit un autre ensemble, tel que { -1, 0, 1 } ou l'intervalle [ 0, 1 ], on obtient une gamme plus élargie; c'est la logique floue (logique à valeur multiple)

Composer deux relations

Si est une relation de dans et de dans , on peut définir une relation $S\circ R$ de dans , via:

$\left\{(x,y)\in E\times G;\exists z\in F;(x,z)\in R\and (z,y)\in S\right\}$

Notation: si est une relation sur un ensemble et un entier naturel, on note la composition de avec elle-même fois, avec la convention où dénote la relation d'égalité sur .

Comparer des relations

Comme une relation est un sous-ensemble d'un produit cartésien, la relation d'inclusion permet de les comparer.

Relation fonctionnelle

Une relation sur est dite fonctionnelle si elle vérifie la propriété suivante:

$\forall x\in E,\left((x,y)\in R\and(x,z)\in R\right)\Rightarrow y=z$

ce qui signifie intuitivement que tout élément est associé à au plus un élément; donc à aucun élément ou à un seul.

Remarque: la composée de deux relations fonctionnelles est une relation fonctionnelle.

Les relations fonctionnelles permettent de définir les fonctions et applications.

Propriétés des relations sur un ensemble

Il est important de noter que les relations sur un ensemble sont aussi liées aux théories des graphes et des automates.

Exemples

Si on se donne un nombre fini de points, avec des flèches qui partent de certains points pour aller sur d'autres, on peut modéliser cette situation en prenant comme ensemble, les points, et dire que quand une flèche va d'un point à un point , alors ces points sont en relation.

Les relations de comparaison entre entiers naturels et relatifs, rationnels, réels, entre les mots (classement alphabétique) sont aussi des relations au sens mathématique du terme.

Inverser une relation

On peut définir la relation inverse, via

$R^{-1}=\left\{(x,y)\in E\times E; (y,x)\in R\right\}$ .

Exemple: « plus petit que » et « plus grand que » sont inverses l'une de l'autre.

Relation réflexive

La diagonale de est

$\Delta_E=\left\{(x,x)\in E\times E\right\}$ .

Une relation est réflexive si elle contient la diagonale :

$\Delta_E\subset R$

c'est-à-dire si tout élément est en relation avec lui-même via .

Exemples:

la diagonale est en fait la relation d'égalité sur ;
l'inégalité stricte sur les entiers est un exemple de relation non-réflexive.

Relation symétrique

Un relation est dite symétrique si

lorsque , on a aussi .

Exemple : l'égalité. Contre-exemple: « strictement plus grand que », puisque que mais pas le contraire.

On peut symétriser n'importe quelle relation en considérant :

$R\cup R^{-1}$ .

Cette symétrisée est d'ailleurs universelle parmi les relations symétriques contenant (ce qui ici, sans entrer dans des considérations catégoriques, signifie que c'est la plus petite!).

Relation antisymétrique

Une relation est dite antisymétrique lorsque $R\cup R^{-1}=\Delta_E$ c'est-à-dire lorsque :

et implique que .

Exemples: les relations « plus grand que » et « plus petit que » sur les entiers naturels ou sur les réels.

Relation transitive

On dit qu'une relation est transitive lorsque

$R\circ R\subset R$ .

Exemple : comme $1\leq 2$ et $2\leq 3$ , on sait que $1\leq 3$ , donc la relation $\leq$ sur les entiers naturels est transitive.

On appelle clôture transitive de la relation

$\bigcup_{n\geq 1}R^n$

elle est universelle parmi les relations transitives contenant . Notons la .

Relation d'équivalence

Une relation d'équivalence est réflexive, transitive et symétrique.

Le plus parfait exemple de relation d'équivalence, celui qui motive cette définition, est l'égalité.

On appelle clôture équivalente de , la relation :

$\Delta_E\cup(R\cup R^{-1})^{trans}$

elle est universelle parmi les relations d'équivalences qui contiennent .

Classe d'équivalence

Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence . Soit dans , on appelle classe d'équivalence de selon et on note (ou bien ou $\bar{x}$ s'il n'y a pas ambiguité sur la relation) l'ensemble de tous les éléments de -équivalent à , soit

$C_R(x)=\{y\in E; xRy\}$ .

Propriétés Un premier résultat (facile a vérifier) est le suivant :

$xRy \Leftrightarrow C_R(x)=C_R(y)$ .

Il en découle que deux éléments non-équivalents ont des classes disjointes ( $C_R(x)\cap C_R(z)=\emptyset$ ), une classe est donc totalement définie par n'importe lequel de ses éléments on parle alors de représentant de la classe. De plus chaque élément de admet une classe d'équivalence car . L'ensemble $\mathcal{C}_R(E)$ de toutes les classes d'équivalences est appelé quotient de par . Pour plus de commodité chaque élément de $\mathcal{C}_R(E)$ est représenté par un de ses représentants.

Relation d'ordre

Une relation d'ordre est réflexive, transitive et antisymétrique. Ces relations servent à généraliser la notion de « plus grand que ».

Tous les éléments ne sont pas forcément comparables par une relation d'ordre; par exemple, dans le plan, si on utilise la relation « loin de l'origine », tous les points sur un même cercle centré sur l'origine sont incomparables. Si on a $\forall x,y\in E, xRy\or yRx$ , alors on dit que l'ordre est total. C'est le cas de la relation « plus grand que » sur les entiers naturels.

Plus de détails dans cet article : relation d'ordre.

Catégories: Théorie des ensembles | Algèbre

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