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Glossaire topologique

Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés en topologie.

Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'espaces topologiques. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.

Généralités

• Continue. Une fonction d'un espace dans un autre est continue si l'image d'un point adhérent à une partie est nécessairement adhérente à l'image de cette partie. De façon équivalente, une fonction d'un espace dans un autre est continue si l'image réciproque de chaque ouvert est ouverte.

• Homeomorphes. Deux espaces et sont homéomorphes s'il existe une fonction bijective continue et de réciproque continue. Une telle fonction est appelée un homéomorphisme.

• Adhérence. l'adhérence d'une partie d'un ensemble est l'ensemble des points adhérents à cette partie. Un point est adhérent à une partie si tout ouvert contenant le point rencontre aussi cette partie. En topologie, l'adhérence se confond avec la fermeture. La fermeture d'une partie est l'intersection de tous les fermés qui le contiennent. C'est le plus petit fermé contenant cette partie.

• Intérieur. L'intérieur d'une partie est l'union de tous les ouverts qu'elle contient. C'est le plus grand ouvert contenu dans cette partie.

• Frontière. La frontière d'une partie est son adhérence privée de son intérieur.

• Dense. Une partie dense est une partie dont l'adhérence est l'espace tout entier.

• Rare. Une partie est rare si son adhérence est d'intérieur vide.

• Voisinage. Un voisinage d'un ensemble est un ensemble contenant un ouvert contenant . Un voisinage d'un point est un voisinage du singleton .

• Prébase. Un ensemble d'ouverts est une prébase pour une topologie si tous les ouverts de celle-ci peuvent s'écrire sous la forme d'une intersection finie d'éléments de la prébase.

• Base. Un ensemble d'ouverts est une base pour une topologie si chaque ouverts de celle-ci est une union d'éléments de la base.

• Système fondamental de voisinages. Un ensemble de voisinages d'un point est un système fondamental de voisinages si chaque voisinage de contient un élément de .

• Localement fini. Une famille de parties d'un espace est dite localement finie si chaque point possède un voisinage qui rencontre un nombre fini d'éléments de la famille.

• Recouvrement. Une famille de parties est un recouvrement si leur union est l'espace tout entier. Un recouvrement ouvert est un recouvrement dont tous les éléments sont des ouverts.

• Sous-recouvrement. Un recouvrement est un sous-recouvrement du recouvrement si chaque élément de appartient à .

• Raffinement. Un recouvrement est un raffinement du recouvrement si chaque élément de est inclus dans un élément de .

• Fonctionnellement séparés. Deux ensembles et sont fonctionnellement séparés s'il existe une fonction continue à valeur dans telle que et .

• Partition de l'unité. Une partition de l'unité est un ensemble de fonctions continues à valeurs dans telles que chaque point possède un voisinage sur lequel toutes les fonctions sauf un nombre fini sont identiquement nulles et telle que la somme des fonctions soit identiquement égale à 1.

• Fonctions homotopes. Deux fonctions continues sont homotopes s'il existe une fonction continue telle que .

Espaces topologiques

Les espaces topologiques peuvent être classés en fonction de la séparation entre leur points, de leur compacité, leur taille ou leur connexité.

Axiomes de séparation

Pour un traitement plus détaillé, voir Axiome de séparation. Certains de ces termes sont définis autrement dans la littérature ancienne; voir Histoire des axiomes de séparation.

• ou de Kolmogorov. Un espace est si pour tout couple de points, il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre.

• . Un espace est si tous ses singletons sont fermés. En particulier, c'est un espace de Kolmogorov.

• ou de Hausdorff ou séparé. Un espace est de Hausdorff si deux points différents admettent des voisinages disjoints. En particulier, c'est un espace .

• Régulier. Un espace est régulier si pour tout fermé et tout point , et admettent des voisinages disjoints. Les espaces de Kolmogorov réguliers sont toujours de Hausdorff.

• Tychonoff. Un espace de Hausdorff est de Tychonoff si pour tout fermé et tout point , et sont fonctionnellement séparés. Les espaces de Tychonoff sont réguliers.

• Normal. Un espace est espace normal normal si deux fermés disjoints possèdent des voisinages disjoints. Les espaces normaux admettent des partitions de l'unité. Les espaces normaux sont de Tychonoff.

Compacité

Un recouvrement ouvert est un ensemble d'ouverts tel que leur union recouvre l'espace.

• Paracompact. Un espace est paracompact si tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini. Les espaces de Hausdorff paracompacts sont normaux.

• de Lindelöf. Un espace est de Lindelöf si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement dénombrable.

• Quasi-compact. Un espace est quasi-compact si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini.

• Compact. Un espace est compact s'il est quasi-compact et de Hausdorff.

(En terminologie anglophone, et parfois en terminologie francophone, le terme compact est utilisé pour ce qui est défini ici comme quasi-compact, et on parle de compact Hausdorff pour ce qui est défini ici comme compact.)

• Localement compact. Un espace est localement compact si chaque point admet un système fondamental de voisinages compacts. Les espaces de Hausdorff localement compacts sont de Tychonoff.

• Relativement compact. Un espace est relativement compact lorsque son adhérence est compacte.

Taille

Un espace est séparable s'il admet une partie dense dénombrable.

Connexité

• Connexe. Un espace est connexe s'il n'est pas l'union disjointe de deux ouverts non vides.

• Locallement connexe. Un espace est localement connexe si chaque point admet un système fondamental de voisinages connexes.

• Composante connexe. La composante connexe contenant un point est le plus grand ensemble connexe contenant ce point. C'est l'union de tous les ensembles connexes contenant ce point.

• Totalement discontinu. Un espace est totalement discontinu s'il n'admet pas de composante connexe contenant plus d'un élément.

• Connexe par arcs. Un espace est connexe par arcs si pour tout couple de points , il existe un chemin de à , c'est-à-dire une fonction continue telle que . Un espace connexe par arcs est connexe. Un ouvert métrique est connexe par arcs si et seulement s’il est connexe.

• Localement connexe par arcs. Un espace est localement connexe par arcs si chaque point admet un voisinage connexe par arcs. Un espace localement connexe par arcs est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs.

• Simplement connexe. Un espace est simplement connexe s'il est connexe par arcs et si toute fonction continue est homotope à une fonction constante.

• Contractile. Un espace est contractile si la fonction identité de est homotope à une fonction constante. Les espaces contractiles sont toujours implement connexes.

Divers

• Métrisable. Un espace est métrisable s'il est homéomorphe à un espace métrique. Les espaces métriques sont toujours de Hausdorff et paracompacts (et, conséquemment, normaux et de Tychonoff).

• Localement métrisable. Un espace est localement métrisable si chaque point admet un voisinage métrisable.

• Homogène. Un espace est homogène si pour tout couple de points , il existe un homéomorphisme de sur qui envoie sur .

Tous les groupes topologiques et, en particuliers, les espaces vectoriels topologiques sont homogènes.