Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] \| Liste Catégories \| Une page au hasard \| Pages liées

Relativité restreinte

Albert Einstein

Cet article de physique fait
partie de la série relativité

Bases

histoire - théorie

Lorentz - Einstein - Mach

transformation de Lorentz

Feynman - Poincaré - Michelson

espace-temps-c - mc²-t

EQR

exp:Michelson et Morley

exp:pensée?-éther

jumeaux-train

relativité restreinte-générale

[[théorie de la relativité

Techniques

cyclotron - [[]]

accélérateur de particules

Méta

article

Liens physique

On nomme Relativité restreinte une première version de la théorie de la Relativité, émise en 1905, et qui ne considérait pas la question des accélérations du référentiel, ni les interactions d'origine gravitationnelles. Cependant, elle présentait une explication cohérente des interactions électro-magnétiques et de leurs transformation par changement de référentiel par la Transformation de Lorentz. De plus, elle résolvait les paradoxes existants en méchanique classique relatifs aux mesures de la vitesse de la lumière. Cette théorie a introduit pour la première fois la notion d'espace-temps et des phénomènes étonnants, mais vérifiés expérimentalement, de variation des longueurs et des durées d'un observateur à un autre.

Elle est enseignée tant dans le cadre de la cinématique en mathématiques que de l'introduction à la Relativité générale en physique pour sa clarté et sa simplicité.

D'autrepart, c'est actuellement la seule théorie utilisable pour représenter les effets relativistes en mécanique quantique.

Origine de la théorie

La théorie de la relativité restreinte a été formulée pour la première fois par Albert Einstein en 1905, dans son article intitulé De l'électrodynamique des corps en mouvement..

« Malgré la prudence de Lorentz, la théorie de la relativité restreinte fut rapidement acceptée. En 1912 Lorentz et Einstein furent proposés pour un prix Nobel conjoint pour leur travail sur la relativité spéciale. La recommandation était de Wien, lauréat de 1911, et déclare que « bien que Lorentz doive être considéré comme le premier à avoir trouvé le contenu mathématique du principe de relativité, Einstein réussit à le réduire en un principe simple. On devrait dès lors considérer le mérite des deux chercheurs comme comparable ». Einstein ne reçut jamais le Nobel pour la relativité. Le comité fut d'abord prudent et attendit une confirmation expérimentale. Le temps que cette confirmation soit enfin disponible, Einstein était passé à d'autres travaux importants. » ([1] , en anglais). Quant à Poincaré, qui avait décrit cette idée dès 1902, il était mort.

Émergence du concept

On trouvera dans Quatrième dimension un extrait d'un historique sur la naissance de la relativité; cet extrait rappelle que si Lorentz a bien formulé en premier les transformations qui portent son nom, Einstein a remis en cause les principes de base de la mécanique classique... sur les principes de l'espace-temps à quatre dimensions non-euclidien formalisé par son professeur Hermann Minkowski en 1907, et de la façon décrite par Henri Poincaré dans son ouvrage La science et l'hypothèse dès 1902. Le texte, aujourd'hui libre de droits (Poincaré mourut en 1912) est disponible sur le Net : http://www.univ-nancy2.fr/poincare/bhp/sh.html

Changement de référentiel

introduction aux changements de référentiels

Une étape importante de la mise en forme de la théorie concerne les notions à introduire pour décrire le passage d'un référentiel dans une autre.

A partir du moment où l'on travaille dans l'espace-temps à quatre coordonnées, dont l'une est temporelle, on ne s'impose a priori de conditions sur aucune des coordonnées, à part celles qui peuvent apparaître acceptables après mûre réflexion.

Ces conditions sont très simples et très efficaces. Il s'agit des hypothèses suivantes, concernant chacun des référentiels galiléens :

l'espace-temps est homogène : il n'existe pas de point privilégié dans l'espace, il n'existe pas d'instant privilégié ---> dans un référentiel donné l'origine du repère, le zéro de l'horloge est sans importance.

l'espace-temps est isotrope : il n'existe pas de direction privilégiée dans l'espace.

Ces conditions imposent des relations de linéarité entre des sysèmes de coordonnées des deux référentiels.

Puis une condition sur une hypothèse logique minimale :

deux événements, reliés par un lien de cause à effet dans un référentiel, doivent être reliés par un lien semblable dans un autre référentiel ; ainsi le changement de référentiel doit intrerdire que dans un référentiel l'effet ne précède la cause.

deux événements coïncidant dans un référentiel, coïncident dans tout autre référentiel galiléen (il s'agit d'une conséquence de l'impératif précédent).

Le fait est que cette hypothèse minimale permet la possibilité suivante : les horloges, fixes dans les différents référentiels peuvent avoir des marches différentes, tant que cela ne modifie pas l'ordre temporel imposé par la causalité.

right

Ces conditions sont mises en œuvre dans la recherche des transformations de Galilée, puis de celles de Lorentz qui sont abordées ci-dessous. L'on travaille, en général, dans le cadre de transformation dites spéciales caractérisées par le fait que les systèmes d'axes x,y,z et x',y',z' sont choisis tels qu'ils soient parallèles, que les axes O’x’ et Ox soient communs et parallèles à la vitesse $\vec{v}$ du référentiel $\mathbb{R'}$ par rapport au référentiel $\mathbb{R}$ . Cette restriction de la présentation ne nuit nullement à la généralité des résultats obtenus.

Une seconde étape nécessaire au développement des calculs est la mise à zéro des horloges fixes dans chacun des référentiels. Usuellement on choisit de régler sur 0, les horloges fixes, respectivement en O’ et O, lorsque les deux points coïncident. Les horloges fixes de chacun des référentiels sont ensuite synchronisées sur celles de O’ et O, respectivement.

Les transformations de Galilée imposent l'hypothèse de Newton sur le temps, identique dans tous les référentiels, elles vérifient donc sans difficulté l'hypothèse sur la conservation de la causalité.

Les transformations de Galilée

Dans le théorie galiléenne, si l'on passe du référentiel $\mathbb{R'}$ au référentiel $\mathbb{R}$ , les coordonnées sont liées par :

$x = (x' + vt') \qquad y = y' \qquad z = z' \qquad t = t'$

En dérivant par rapport au temps:

$\frac{dx}{dt} = \frac{d(x' + vt')}{dt'} \Rightarrow V_x=V'_x +v \qquad \frac{dy}{dt} =\frac{dy'}{dt'} \Rightarrow V_y=V_y^' \qquad \frac{dz}{dt} =\frac{dz'}{dt'} \Rightarrow V_z=V_z^'$

où V désigne la vitesse. Puis, en dérivant une deuxième fois par rapport au temps :

$\frac{dV_x}{dt} = \frac{d(V_x' + v)}{dt'} \Rightarrow a_x=a_x' \qquad \frac{dV_y}{dt} = \frac{d V_y' }{dt} \Rightarrow a_y=a_y' \qquad \frac{dV_z}{dt} = \frac{dV_z'}{dt} \Rightarrow \gamma_z=a_z'$

où a désigne l'accélération. Ceci s'écrit en vecteurs: l'adition des vitesses et l'invariance de l'accélération:

$\vec V = \vec V'+ \vec v$ et $\vec a = \vec a'$

La relation fondamentale de la dynamique F = m × a s'écrit F´ = m × a´ lorsqu'on change de référentiel à la façon de Galilée : les lois de la mécanique classique sont de ce fait dites invariantes avec les transformations de Galilée. Le temps est bien sûr un invariant, on dit aussi qu'il est universel, ou encore absolu t=t' !

Bref, la relation fondamentale de la dynamique est invariante dans les transformations de Galilée.

Noter aussi que, selon Galilée, les vitesses s'ajoutent (V=V'+v) et donc aucune vitesse n'est invariante avec les transformations de Galilée.

Ceci fut expérimentalement contredit par l'expérience de Michelson et a conduit Einstein à postuler que la vitesse de la lumière est un invariant, et donc à accepter la transformation dite de Lorentz qui a cette propriété de garder la vitesse de la lumière invariante. Les transformations de Lorentz (ci-dessous) gardent invariantes la vitesse de la lumière et les lois de l'électromagnétisme : Autrement dit, les lois de l'électromagnétisme restent inchangées en changeant de référentiel selon Lorentz.

Les transformations de Lorentz doivent remplacer les transformations de Galilée pour exprimer les lois physiques, toutes les lois physiques, lorsque l'on change de référentiel : c'est le choix audacieux fait par Einstein, choix qui s'est avéré juste.

L'expérience d'interférométrie de Michelson et Morley

C'est en essayant d'utiliser la loi d'addition des vitesses (Michelson 1881, puis Michelson et Morley 1887) pour mettre en évidence le mouvement de la Terre par rapport à l'espace supposé immobile que ces chercheurs ont obtenu un résultat apparemment absurde : la vitesse de la Terre autour du soleil était nulle ! Certains ont essayé d'expliquer ce résultat en parlant d'éther entraîné par la Terre à la façon d'un bateau qui entraîne l'air contenu dans ses cabines, mais c'est Minkowski qui montra que les transformations de Lorentz formaient un groupe et émit l'idée d'un espace-temps non euclidien à quatre dimensions. Einstein développa alors l'idée qu'il ne s'agissait pas là d'un simple jeu intellectuel, mais bien de la réalité sous-jacente qui échappait à nos sens aux échelles de vitesse où nous travaillons communément.

Les vitesses ne s'additionnent pas arithmétiquement, et pour obtenir les règles de composition des vitesses, il suffit d'admettre les transformations de Lorentz comme valides pour toutes les lois de la nature; celles de Galilée en sont une approximation valable aux faibles vitesses.

Les postulats de base d'Einstein

Les lois de la physique sont les mêmes pour deux observateurs qui sont dans des reférentiels d'inertie (un reférentiel d'inertie si un corps libre a une vitesse dOM/dt = v =constante) C'est le principe de relativité (dans sa conception restreinte).

La vitesse de la lumière dans le vide est identique en module (pas en direction) quel que soit le référentiel.

L'espace est homogène et isotrope : les propriétés de règles rigides et d'horloges idéales sont identiques en n'importe quel point de l'espace et à n'importe quelle époque, et ce quelle que soit leur orientation.

Ces trois postulats sont apparus ultérieurement comme d'importance différentes. En effet, le premier est métaphysique, alors que les deux autres sont équivalents à des lois physiques particulières dans un cadre relativiste.

Les transformations de Lorentz

pour changer de référentiel de:

$\mathbb{R'} \rightarrow \mathbb{R} :x = \gamma (x' + vt') \qquad y = y' \qquad z = z' \qquad t = \gamma (t'+ \frac{v.x'}{c^2})$

où γ est un facteur scalaire sans dimension défini par

$\qquad \gamma=\gamma (v)= \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Les transformations de Lorentz font que les équations de Maxwell sont invariantes par changement de référentiel et que leur vitesse c dans le vide est la même dans tout référentiel, ce qui à priori est absurde.

Einstein décida que les lois de l'électromagnétisme étaient correctes et qu'il fallait en tirer la conclusion que les lois de la mécanique classique ne l'étaient pas !

Ce qui l'amena très tôt à considérer que la masse n'est qu'une forme de l'énergie.

On démontre que les équations de propagation de l'électromagnétisme sont covariantes par transformation de Lorentz. C'est une des manières standard de dériver cette transformation de Lorentz.

Voir l'article détaillé Transformations de Lorentz.

Conséquences

Calculs relativistes

Il vaut mieux en relativité restreinte se fier au calcul et éviter les raisonnements sans calculs : si vous avez des notions d'algèbre voir les Calculs relativistes

Les théories prédictives sont fascinantes puisque elles confirment qu'il y a des lois ou règles qui régissent la sciences : citons les lois de conservation et les constantes universelles.

La relativité restreinte est exemplaire en tant que théorie prédictive en partant de deux principes contredisant les théories passées. Les calculs sont une succession d'équivalences au sens mathématiques qui permettent de développer les conséquences d'un principe pris comme point de départ.

Calculs_relativistes#Le_voyage_dans_le_futur_des_autres permet de comprendre le paradoxe des jumeaux

Essai pour établir les transformations de Lorentz

Si on postule que les transformations de Lorentz sont les bonnes, il apparait une vitesse c, constante, qui est celle de toute particule de masse nulle dans tous les référentiels.

Inversement, les calculs qui suivent montrent que, si on postule que la vitesse de la lumière est constante, alors ce sont les transformations de Lorentz qui permettent de passer d'un référentiel à un autre (en déplacement à vitesse fixe, sans accélération).

On trouve aussi cette démonstration au paragraphe d'un cours en ligne [2] au format PDF.

Établissement des transformations de Lorentz

transformations de Lorentz permet d'avoir le détail des calculs permettant d'obtenir les formules dites des transformations de Lorentz

Transformations spéciales de Lorentz

On appelle transformations spéciales de Lorentz, la transformation $x'{\rightarrow}x=Lx'$ satisfaisant les conditions suivantes :

les axes (Oxyz) du référentiel R et (O'x'y'z') du référentiel R' sont respectivement parallèles. L'axe (O'x') glisse le long de l'axe (Ox) à la vitesse constante v mesurée dans R.

les horloges de R et R' sont synchronisées à t=t'=0 losrque les origines O et O' coïncident. Nous passons donc de R à R' :

$x{\rightarrow}L'x : x^{\mu'} = L_{\lambda}^{\mu'}x^{\lambda} = L_{0}^{\mu'}x^{0}+L_{k}^{\mu'}x^{k}$

$\left\{\begin{matrix} x^{0'}=L_{0}^{0'}x^0+L_{k}^{0'}x^k=L_{0}^{0'}(x^{0}+x^{k}\beta_{k})\\ x^{i'}=L_{0}^{i'}x^0+L_{k}^{i'}x^k=L_{k}^{i'}=(x^{k}-x^{0}\beta^{k}) \end{matrix}\right.$

On obtient donc les transformations spéciales de Lorentz :

$\left\{\begin{matrix} t'=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x)\\ x'=\gamma(x-vt)\\ y'=y\\ z'=z \end{matrix}\right.$

Transformations générales de Lorentz

Les transformations générales de Galilée sont : $\left\{\begin{matrix} \vec{r'}=\vec{r}-\vec{v}t\\ t'=t \end{matrix}\right.$

Nous décomposons le vecteur $\vec{r}$ suivant deux directions : celle parallèle au déplacement $\vec{r}_{/ /}$ et celle orthogonale à celle-ci : $\vec{r}_{\bot}$ : $\vec{r}=\vec{r}_{/ /}+\vec{r}_{\bot}$

Les transformations de Lorentz donnent :

$\left\{\begin{matrix} \vec{r'}_{\bot}=\vec{r}_{\bot}\\ \vec{r'}_{/ /}=\gamma(\vec{r}_{/ /}-\vec{v}_{0}t)\\ t'=\gamma(t-\frac{\vec{r}{\cdot}\vec{v}_0}{c^2}) \end{matrix}\right.$

$\vec{r'} = \vec{r'}_{\bot}+\vec{r'}_{/ /} = \gamma(\vec{r}_{/ /}-\vec{v}_{0}t)+\vec{r}_{\bot}=\gamma(\vec{r}-\vec{v}_{0}t)-(\gamma-1)\vec{r}_{\bot}$

or $\vec{v}_{0}\times\vec{r}=\vec{v}_{0}\times\vec{r}_{\bot}$

obtenant : $\vec{r}_{\bot}=\frac{\vec{v}_0\times(\vec{v}_0\times\vec{r})}{v_0^2}$

d'où l'espression des transformations générales de Lorentz :

$\left\{\begin{matrix} \vec{r'}=\gamma(\vec{r}-\vec{v}_{0}t)-(\gamma-1)\frac{\vec{v}_0\times(\vec{v}_0\times\vec{r})}{v_0^2}\\ t'=\gamma(t-\frac{\vec{r}{\cdot}\vec{v}_0}{c^2}) \end{matrix}\right.$

Conséquences

la dilatation du temps : de même, le concept de temps absolu vole en éclat. Un sablier (ou tout autre instrument de mesure du temps) s'écoulera plus rapidement dans le référentiel fixe que dans le référentiel en mouvement.

$\Delta t = \gamma (\Delta t' + \frac{v \Delta x'}{c^2})= \gamma (\Delta t' )$

si Δx' est nul, montre qu'un intervalle de temps dans R' n'a pas la même valeur dans R
la contraction des longueurs dans la direction du déplacement : la mesure de longueur selon x est plus courte dans le référentiel fixe que dans le référentiel en mouvement.
la relativité de la simultanéité
le paradoxe des jumeaux. Il existe en fait deux paradoxes l'un dans l'autre, un simplifié et un global.

Paradoxe simplifié : supposons que sur un couple de frères jumeaux, l'un parte en un long voyage dans une fusée capable d'atteindre des vitesses relativistes, c'est-à-dire proches de la vitesse de la lumière, avant de revenir sur Terre. Si son temps propre s'est écoulé plus lentement que celui de son frère resté sur Terre, il aura moins vieilli que ce dernier. Ce paradoxe ne peut concerner la relativité restreinte, puisque qu'on ne peut envisager un retour sur terre sans accélération(s) intermédiaire(s).
Paradoxe global : si les mouvements sont relatifs, alors en quoi l'un des deux jumeaux peut-il être considéré plus mobile ou immobile que l'autre, et si l'on permute les deux observateurs, pourquoi le différentiel de vieillissement n'est-il pas aussi bien dans l'autre sens ?

Le paradoxe, énoncé en 1911 par Paul Langevin, a cessé d'être une contradiction logique dès 1915 avec la relativité générale, mais a gardé son nom en raison de la curiosité de son résultat.

le paradoxe des jumeaux

rappelons ce paradoxe:

si deux jumeaux sont seuls dans un univers sans masse et que l'un deux A fait un voyage à grande vitesse aller et retour, rien ne permet de distinguer lequel voyage et la situation est totalement symétrique. A peut aussi considérer que c'est B qui est parti et revenu: conséquence, il n'y a aucune raison de trouver une dilatation du temps de l'un par rapport à l'autre.

Petites expériences de pensée

Très prisées d'Einstein lui-même, les « expériences de pensée » (GedankenExperiment en allemand) n'ont d'autre but que de bien appréhender les phénomènes contre-intuitifs introduits par les conséquences mentionnées dans Petites expériences de pensée.

Équations de la Mécanique relativiste

L'équation fondamentale de la Mécanique classique appliquée à une particule de masse m est :

$\frac{d\vec{p}} {dt} = \frac{d}{dt} (m \vec{v}) = \vec{F}$

où F est la somme des forces appliquées sur la particule.

En tenant compte des formules de Lorentz, on a donc :

$\vec{v}$ remplacé par $\gamma \vec{v}$ et donc $m \vec{v}$ remplacé par $\gamma m \vec{v}$

La quantité de mouvement de la particule est alors :

$\vec{p} = \gamma m \vec{v}$

Son énergie cinétique est définie par :

$dE_{c} = \vec{F}\vec{v} dt = \vec{v} d\vec{p} = \vec{v} d(\gamma m \vec{v})$

Si on pose que l'énergie cinétique d'une particule au repos (v = 0) est nulle, on obtient la valeur de la constante d'intégration : $E_{c} = (E -m) c^{2} \qquad E = \gamma m c^{2}$

Dans le cas où v << c, on retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique :

$E_{c} = m c^{2}(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - 1) = \frac{1}{2}m v^{2} + \frac{3}{8}m \frac{v^{4}}{c^2}+...$

On peut donc définir une masse de la particule comme étant l'énergie au repos m c² L'énergie totale de la particule est alors la somme de son énergie de masse, et de son énergie cinétique :

On peut faire plusieurs observations :

la valeur de l'énergie totale de la particule dépend du référentiel de l'observateur. Cependant, la valeur de l'énergie de masse est identique dans tous les référentiels, et en particulier dans le référentiel propre de la particule. C'est donc une caractéristique intrinsèque de la particule.
lorsque v tend vers c, γ tend vers l'infini, ce qui signifie qu'il faudrait fournir une énergie infinie pour accélérer une particule jusqu'à atteindre la vitesse de la lumière. Ceci est évidemment impossible, ce qui se traduit par l'impossibilité pour une particule massive de se mouvoir à la vitesse de la lumière. On arrive cependant à accélérer des particules à des vitesses très proches de c.

Pour une particule au repos, on a équivalence de la masse et de l'énergie, formule célèbre qui restera gravée sur le tombeau d'Einstein :

Poser cette équivalence fut un pas révolutionnaire, car les concepts de matière et d'énergie étaient complètement distincts jusque là, bien que certains mathématiciens comme Poincaré ou Lorentz avaient indépendamment tenté le rapprochement dans le domaine de l'électromagnétisme.

Cette équation aurait été publiée deux ans avant le travail d'Einstein par un italien nommé Olinto De Pretto. Même si de Pretto a le premier écrit cette formule, c'est toutefois bien Einstein qui l'a rendue célèbre.

Pourquoi n'y a-t-il pas eu de Nobel pour la Relativité ?

Il est admis que l'idée de relativité restreinte était due au travail concourant et égal d'au moins trois personnes en sus d'Einstein : Henri Poincaré (qui signale déjà qu'il faut renoncer à l'idée de temps absolu dans « La Science et l'hypothèse » dès 1902), Hendrik Lorentz pour sa transformation, et Minkowski pour son idée d'espace-temps non euclidien. Albert Einstein a pour sa part regroupé le tout dans un cadre propre et homogène. Toutefois, Poincaré décéda en 1912 - avant que la communauté scientifique ne soit convaincue du bien-fondé de la Relativité - et on ne pouvait décerner de co-prix Nobel à un mort. Minkowski, lui, avait disparu en 1909. Et Lorentz, déjà prix Nobel en 1902, mourut en 1928.

La relativité générale est en revanche bien attribuée à Einstein seul. Pourtant celui-ci n'obtint pas d'autre prix Nobel que celui déjà obtenu pour son étude de l'effet photoélectrique. Un comble concernant Einstein qui n'avait jamais été très enthousiaste pour la théorie quantique...

Voir aussi

Calculs relativistes
Calculs_relativistes#Le_voyage_dans_le_futur_des_autres qui permet de comprendre le paradoxe des jumeaux
Henri Poincaré
Relativité générale
Théories d'une vitesse de lumière variable

Liens externes

Catégories: Astronomie | Relativité

This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the