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Résolution d'un triangle

en cours de rédaction et illustration

Note : on se place ici en géométrie euclidienne

Résoudre un triangle, c'est déterminer certains de ses éléments (angles et/ou côtés) à partir d'autres qui sont connus.

Le plus souvent, un triangle est défini si l'on connaît au moins trois de ses éléments (angles ou côtés) dont au moins un côté.

Cet article indique les formules mathématiques permettant de calculer les autres éléments ainsi que la surface du triangle, dans les différents cas possibles.

Dans ce qui suit, les lettres A, B, C désignent chacun des angles, les lettres a, b, c désignent les côtés qui leur sont respectivement opposés. S désigne la surface du triangle.

Sommaire

1 On connaît les trois côtés a, b, c

2 On connaît deux côtés a, b et leur angle C

3 On connaît deux côtés b, c et un angle opposé B

4 On connaît deux angles A, B et le côté commun c

5 On connaît deux angles et un côté non commun

On connaît les trois côtés a, b, c

Dans ce cas, c doit désigner le plus grand côté (ou l'un des plus grands).

Calcul des angles :

$C = \operatorname{Arccos}\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$
$B = \operatorname{Arcsin}\left( \frac{b \sin C}{c}\right)$
$A = \operatorname{Arcsin}\left( \frac{a \sin C}{c}\right)$

Calcul de la surface :

$S= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
avec
$s = \left( \frac{a + b + c}{2}\right)$

On connaît deux côtés a, b et leur angle C

Calcul du côté c :

$c= \sqrt{a^2+b^2-2ab \cos C}$

Calcul des angles A et B

$A = \operatorname{Arcsin}\left( \frac{a \sin C}{c}\right)$
B = π A C

(cette formule vaut si les angles sont exprimés en radians ; si ce n'est pas le cas, remplacer π par 180° ou 200 grades, selon le cas) .

Calcul de la surface :

$S = \left( \frac{ab \sin C}{2}\right)$

On connaît deux côtés b, c et un angle opposé B

Calcul des angles :

$C = \operatorname{Arcsin}\left( \frac{c \sin B}{b}\right)$
A = π B C

Calcul du côté a :

$a=\frac{b \sin A}{\sin B}$

Si B est aigu et b<c, il existe une seconde solution représentée ci-contre par b₂.

On connaît deux angles A, B et le côté commun c

La formule est assez rarement donnée :
$a=\frac{c}{\cos\hat{B}+\sin\hat{B}\cot\hat{A}}$
(c'est la formule permettant de déterminer la largeur a d'une rivière, les deux angles et la longueur c étant mesurés sur une des berges)

On connaît deux angles et un côté non commun

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