Page d'accueil	encyclopedie-enligne.com en page d'accueil
Liste Articles: [0-A] [A-C] [C-F] [F-J] [J-M] [M-P] [P-S] [S-Z] \| Liste Catégories \| Une page au hasard \| Pages liées

Série de Dirichlet

En mathématiques, une série de Dirichlet, un des nombreux concepts nommés en l'honneur du mathématicien allemand Dirichlet, est une série de la forme

$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}.$

La plus célèbre des séries de Dirichlet est

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},$

qui est la fonction Zeta de Riemann.

Suivant la suite que l'on s'est donnée au départ, la série converge sur un domaine plus ou moins grand.

Si la suite a des propriétés arithmétiques intéressantes, la série aura elle aussi des propriétés remarquables.

On connaît des façons d'écrire les séries de Dirichlet sous forme intégrale, qui permettent parfois d'obtenir des prolongements analytiques même là où la série ne converge pas.

D'autres séries de Dirichlet

$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$

où $\mu(n)\,$ est la fonction de Möbius,

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}$

où $\varphi(n)\,$ est l'indicatrice d'Euler, et

$\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}$

$\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}$

où $\sigma_a(n)\,$ est la fonction diviseur

Propriétés analytiques des séries de Dirichlet

Soit une suite ${a_n}_{(n \in \mathbb{N})}\,$ de nombres complexes, nous essayons d'examiner la valeur de

$f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$

comme une fonction de la variable complexe s. Pour que cela prenne un sens, nous avons besoin d'examiner les propriétés de convergence de la série infinie ci-dessus :

Théorème. Supposons que ${a_n}_{(n \in \mathbb{N})}\,$ soit une suite bornée de nombres complexes. Alors la série infinie ci-dessus pour f est absolument convergente sur le demi-plan ouvert de s tel que Re(s) > 1.

Si l'ensemble des sommes $a_n + a_{n + 1} + \ldots + a_{n + k}\,$ est borné pour n et k ≥ 0, alors la série infinie ci-dessus converge sur le demi-plan ouvert de s tel que Re(s) > 0.

Dans les deux cas f est une fonction analytique sur le demi-plan ouvert correspondant.

Dans beaucoup de cas, la fonction analytique associée à une série de Dirichlet possède un prolongement analytique sur un domaine plus large. Ceci est le cas pour la fonction zeta :

Théorème. La fonction zeta possède un prolongement méromorphe sur C avec un unique pôle à s=1.

Une des conjectures les plus importantes et non-résolues des mathématiques appelée l'hypothèse de Riemann concerne les zéros de la fonction zeta.

Catégories: Analyse complexe | Théorie des nombres | Série mathématique

This site support the Wikimedia Foundation. This Article originally from Wikipedia. All text is available under the terms of the