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Série de Fourier

L'idée de décomposition en série trigonométrique est apparue à Joseph Fourier pour résoudre l'équation de la chaleur.

Une fonction périodique réelle f, continue et de période T peut se décomposer en une somme pondérée de fonctions sinusoïdales simples

$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + \sum_{n = 0}^{\infty} b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )$

où les coefficients a_i et b_i sont des constantes réelles. Cette décomposition est aussi appelée « analyse harmonique ». Pour un entier n donné, la fonction

$a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )$

est appelée « harmonique d'ordre n ». On a en fait

$f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )$

avec

$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x)\cdot dx$

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) \cdot dx$

$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) \cdot dx$

Si f est paire (f(-x) = f(x)), on a b_n = 0 pour tout n. Si f est impaire (f(-x) = -f(x)), on a a_n = 0 pour tout n.

On peut aussi décomposer la fonction avec des coefficients complexes

$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} A_n \cdot e^{i nx\frac{2\pi}{T}}$

avec

$A_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cdot e^{-i nx \frac{2\pi}{T}} dx$

On peut généraliser le concept de série de Fourier à l'aide des espaces de Hilbert ; ici l'espace de Hilbert est l'ensemble des fonctions continues périodiques réelles de période T donnée, la base de Hilbert est formée par les fonctions trigonométriques intervenant dans la décomposition, et les coordonnées sont donnés par les coefficients de Fourier.

La décomposition en séries de Fourier est également généralisée aux fonctions non périodiques avec la théorie de la transformée de Fourier.

Voir aussi

Catégories: Analyse | Mesure et intégration

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