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Série entière

Sommaire

1 Définitions

1.1 Série entière
1.2 Rayon de convergence

2 Exemples

3 Propriétés

Définitions

z sera dans cet article un nombre complexe

Série entière

Une série entière de variable z, est une série de terme général a _nzⁿ, où n est un entier naturel, et (a_n) est une suite de nombres complexes. C'est-à-dire: $\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_nz^n$

Rayon de convergence

Pour qu'une telle série existe il est donc impératif que a_nzⁿ soit borné, et même que sa limite à l'infini soit zéro. Et cela dépendra de z , de la suite (a_n).

Le rayon de convergence R de la série entière $\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_nz^n$ est tel que pour tout |z|< R la série converge. R est un nombre positif ou $+{\infty}$ . Donc la série converge pour z ${{\in}}$ D(O,R), disque de centre l'origine O et de rayon R. et diverge pour |z|> R. Pas de résultat général pour |z|= R.

Dans le cas où le variable z est réelle, on parle encore de disque de convergence, bien que ce soit un intervalle de la droite réelle.

Ces affirmations sont basées sur le lemme d'Abel.

Lemme d'Abel. Soit deux nombres réels r et r' , r > r' > 0. S'il existe un nombre M tel que $|a_n|r_0 {\leq} M$ , pour tout entier n, alors la série $\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_nz^n$ converge normalement pour |z| < r' .

Exemples

La plus célèbre des séries entières: $\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{z^n}{n!}}$ . Son rayon de convergence est $+{\infty}$ . Elle converge donc sur $\mathbb{C}$ . C'est la fonction exponentielle.
$\sum_{n=0}^{+{\infty}}{n!z^n}$ a un rayon de convergence de 0. Elle ne converge que pour z = 0.
$\sum_{n=0}^{+{\infty}}{z^n}$ a un rayon de convergence de 1.

Propriétés

fonctions $C^{\infty}$

fonction analytique

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