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Série formelle

En mathématiques, les séries formelles sont un outil qui permet d'utiliser l'arsenal analytique des séries entières sans tenir compte de la notion de convergence. Ces séries sont également très utiles pour décrire de façon concise des suites et pour trouver des formules pour des suites définies par récurrence via ce que l'on appelle les fonctions génératrices.

Considérons un anneau commutatif R. Nous voudrions définir l'anneau des séries formelles sur R de la variable X, noté R[[X]] ; n'importe quel élément de cet anneau peut être écrit de façon unique comme une somme infinie de la forme ∑_n≥0 a_n Xⁿ où les coefficients a_n sont des éléments de R. En fait, R[[X]] est un anneau topologique et ces sommes infinies sont définies correctement et convergent. L'addition et la multiplication sont les mêmes que pour les séries entières.

Sommaire

1 Une construction formelle

2 Propriétés

3 Les séries formelles vues comme des fonctions

4 Differentiating formal power series

5 Séries formelles de plusieurs variables

6 Applications

7 Propriété universelle

8 Séries formelles généralisées

Une construction formelle

Considérons l'ensemble R^N de toutes les suites infinies à valeurs dans R et définissons la somme de deux telles suites de la façon suivante :

$\left( a_n \right) + \left( b_n \right) = \left( a_n + b_n \right)$

et leur produit de cette façon :

$\left( a_n \right) \times \left( b_n \right) = \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right).$

Le produit est appelé produit de Cauchy de deux suites de coefficients et est une sorte de convolution discrète. Ces deux opérations font de R^N un anneau commutatif dont l'élément neutre pour la multiplication est (1,0,0,...). Nous identifierons l'élément a de R à la suite (a,0,0,...) et nous définissons X comme étant égal à (0,1,0,0,...). Alors tout élément de R^N de la forme (a₀, a₁, a₂,...,a_N,0,0,...) peut être écrit comme une somme finie de cette façon :

$\sum_{n=0}^N a_n X^n$

Afin d'étendre ce développement au séries infinies, nous avons besoin d'une distance sur R^N : définissons d((a_n), (b_n)) = 2^-k, où k est le plus petit entier naturel tel que a_k ≠ b_k (si un tel k n'existe pas, alors les deux suites seront dites égales et la distance de l'une à l'autre est par conséquent nulle). C'est une distance qui fait de R^N un anneau topologique, et l'expression

$\left( a_n \right) = \sum_{n \ge 0} a_n X^n$

peut maintenant être écrite de façon rigoureuse en utilisant la notion de convergence issue de d ; en fait, tout réarrarangement de la série converge vers la même limite.

Cet anneau topologique est l'anneau des séries formelles sur R et se note R[[X]].

Propriétés

R[[X]] est une algèbre associative sur R qui contient l'anneau R[X] des polynomes à coefficients dans R ; les polynomes correspondent aux suites dont le terme vaut 0 à partir d'un certain rang.

La formule de la progression arithmétique est valable dans R[[X]] :

$\left( 1 - X \right)^{-1} = \sum_{n \ge 0} X^n$

Un élément ∑ a_n Xⁿ de R[[X]] est inversible dans R[[X]] si et seulement si son coefficient constant a₀ est inversible dans R. Cela implique que le radical de Jacobson de R[[X]] est l'idéal engendré par X et le radical de Jacobson de R.

Les idéaux maximaux de R[[X]] dérivent tous de R de la manière suivante : un idéal M de R[[X]] est maximal si et seulement si M ∩ R est un idéal maximal de R et M est engendré en tant qu'idéal par X et par M ∩ R.

Plusieurs propriétés algébriques de R sont transmises à R[[X]] :

si R est un anneau local, alors il en est de même pour R[[X]]
si R est un anneau noethérien, alors il en est de même pour R[[X]]
si R est intègre, alors il en est de même pour R[[X]]
si R est un corps, alors R[[X]] is a discrete valuation ring.

L'espace métrique (R[[X]], d) est complet. La topologie sur R[[X]] est la topologie produit sur R^N où R est muni de la topologie discrète. Par conséquent, d'après le théorème de Tychonoff, l'espace R[[X]] est compact si et seulement si R est fini. La topologie sur R[[X]] peut également être vue comme la topologie I-adique, où I = (X) est l'idéal engendré par X (il s'agit de l'idéal formé des séries formelles dont le coefficient d'indice 0 est nul).

Si K=R est un corps, il est possible de considérer l'anneau quotient de l'anneau intègre K[[X]] ; il est noté K((X)). Ses éléments sont des séries formelles de Laurent de la forme :

$f = \sum_{n \ge -M} a_n X^n$

où M est un entier qui dépend de la série de Laurent f. K((X)) est un corps topologique.

Les séries formelles vues comme des fonctions

En analyse, une série entière convergente définit une fonction à valeurs réelles ou complexes. Les séries formelles peuvent également être vues comme des fonctions dont les ensembles de départ et d'arrivée sont à manier avec précaution. Si f=∑a_n Xⁿ est un élément de R[[X]], S une algèbre commutative et associative sur R, I un idéal de S tel que la topologie I-adique sur S soit complète, et x un élément de I, alors il est possible de définir :

$f(x) = \sum_{n\ge 0} a_n x^n$

Cette série converge dans S grâce à l'hypothèse sur x. De plus :

Toutefois, ces formules ne sont pas des définitions et doivent être démontrées.

Puisque la topologie sur R[[X]] est la topologie (X)-adique et que R[[X]] est complet, il est possible d'appliquer power series to other power series, provided that the arguments don't have constant coefficients: f(0), f(X²-X) and f( (1-X)^-1 - 1) are all well defined for any formal power series f∈R[[X]].

With this formalism, we can give an explicit formula for the multiplicative inverse of a power series f whose constant coefficient a=f(0) is invertible in R:

$f^{-1} = \sum_{n \ge 0} a^{-n-1} (a-f)^n$

If the formal power series g with g(0) = 0 is given implicitly by the equation

where f is a known power series with f(0) = 0, then the coefficients of g can be explicitly computed using the Lagrange inversion theorem.

Differentiating formal power series

If f = ∑ a_n X_n is an element of R[[X]], we define its formal derivative using the operator D as

$Df = \sum_{n \ge 1} a_n n X^{n-1}$

This operation is R-linear:

for a, b in R and f, g in R[[X]].

The formal derivative has many of the properties of the continuous derivative of calculus. For example, the product rule is valid:

and the chain rule works as well:

In a sense, all formal power series are Taylor series, because if f=∑a_n Xⁿ, then, writing D_k as the kth formal derivative, we find that

One can also define differentiation for formal Laurent series in a natural way, and then the quotient rule, in addition to the rules listed above, will also be valid.

Séries formelles de plusieurs variables

The fastest way to define the ring R[[X₁,...,X_r]] of formal power series over R in r variables starts with the ring S = R[X₁,...,X_r] of polynomials over R. Let I be the ideal in S generated by X₁,...,X_r, consider the I-adic topology on S, and form its completion. This results in a complete topological ring containing S which is denoted by R[[X₁,...,X_r]].

For n=(n₁,...,n_r)∈N^r, we write Xⁿ = X₁^n₁...X_r^n_r. Then every element of R[[X₁,...,X_r]] can be written in a unique way as a sum

$\sum_{\mathbf{n}\in\Bbb{N}^r} a_\mathbf{n} \mathbf{X^n}$

These sums converge for any choice of the coefficients a_n∈R and the order in which the elements are added doesn't matter.

If J is the ideal in R[[X₁,...,X_r]] generated by X₁,...,X_r (i.e. J consists of those power series with zero constant coefficients), then the topology on R[[X₁,...,X_r]] is the J-adic topology.

Since R[[X₁]] is a commutative ring, we can define its power series ring, say R[[X₁]][[X₂]]. This ring is naturall y isomorphic to the ring R[[X₁,X₂]] just defined, but as topological rings the two are different.

If K = R is a field, then K[[X₁,...,X_r]] is a unique factorization domain.

Similar to the situation described above, we can "apply" power series in several variables to other power series with zero constant coefficients. It is also possible to define partial derivatives for formal power series in a straightforward way. Partial derivatives commute, as they do for continuously differentiable functions.

Applications

One can use formal power series to prove several relations familiar from analysis in a purely algebraic setting. Consider for instance the following elements of Q[[X]]:

$\sin(X) := \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n} {(2n+1)!} X^{2n+1}$

$\cos(X) := \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n} {(2n)!} X^{2n}$

Then one can show that

and

as well as

(the latter being valid in the ring Q[[X,Y]]).

As an example of the method of generating functions which arises frequently in combinatorics, consider the problem of finding a closed formula for the Fibonacci numbers f_n defined by f₀ = 0, f₁ = 1, and f_n = f_n−1 + f_n−2 for n ≥ 2. We work in the ring R[[X]] and define the power series

$f = \sum_{n \ge 0} f_n X^n$

f is called the generating function for the sequence (f_n). The generating function for the sequence (f_n−1) is Xf and that of (f_n−2) is X²f. From the recurrence relation, we therefore see that the power series Xf + X²f agrees with f except for the first two coefficients. Taking these into account, we find that

(this is the crucial step; recurrence relations can almost always be translated into equations for the generating functions). Solving this equation for f, we get

$f = \frac{X} {1 - X - X^2}$

The denominator can be factored using the golden ratio φ₁ = (1 + √5)/2 and φ₂ = (1 − √5)/2, and the technique of partial fraction decomposition yields

$\frac{1 / \sqrt{5}} {1-\phi_1 X} - \frac{1/\sqrt{5}} {1- \phi_2 X}$

These two formal power series are known explicitly because they are geometric series; comparing coefficients, we find the explicit formula

$f_n = \frac{1} {\sqrt{5}} (\phi_1^n - \phi_2^n)$

In algebra, the ring K[[X₁, ..., X_r]] (where K is a field) is often used as the "standard, most general" complete local ring over K.

Propriété universelle

The power series ring R[[X₁, ..., X_r]] can be characterized by the following universal property: if S is a commutative associative algebra over R, if I is an ideal in S such that the I-adic topology on S is complete, and if x₁, ..., x_r are elements of I, then there is a unique Φ : R[[X₁, ..., X_n]] -> S with the following properties:

Φ is an R-algebra homomorphism
Φ is continuous
Φ(X_i) = x_i for i = 1, ..., r.

Séries formelles généralisées

Suppose G is an ordered abelian group, meaning an abelian group with a total ordering "<" respecting the group's addition, so that a < b iff a + c < b + c for all c. Let I be a well-ordered subset of G, meaning I contains no infinite descending chain. Consider the set consisting of

$\sum_{i \in I} a_i X^i$

for all such I, with a_i in a commutative ring R, where we assume that for any index set, if all of the a_i are zero then the sum is zero. Then R((G)) is the ring of formal power series on G; because of the condition that the indexing set be well-ordered the product is well-defined, and we of course assume that two elements which differ by zero are the same.

Various properties of R transfer to R((G)). If R is a field, then so is R((G)). If R is an ordered field, we can order R((G)) by setting any element to have the same sign as its leading coefficient, defined as the least element of the index set I associated to a non-zero coefficient. Finally if G is a divisible group and R is a real closed field, then R((G)) is a real closed field, and if R is algebraically closed, then so is R((G)).

This theory is due to Hans Hahn, who also showed that one obtains subfields when the number of (non-zero) terms is bounded by some fixed infinite cardinality.

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