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Siméon Denis Poisson

Siméon Denis Poisson 21 juin 1781 à Pithiviers - 25 avril 1840 à Sceaux fut un mathématicien, géomètre et physicien.

Son père servit comme simple soldat lors des guerres du Hanovre; mais dégoûté par le mauvais traitement qu’il reçut des officiers nobles, il déserte. À peu près à l’époque de la naissance de son fils il occupe divers postes administratif et semble avoir été à la tête du gouvernement local pendant la période révolutionnaire. Siméon Denis fut envoyé d’abord chez son oncle, un chirurgien à Fontainebleau, et commença à prendre des leçons dans le saignement et les enflures, mais fit peu de progrès. Ayant montré des signes de talent précoce comme mathématicien il est envoyé à l’École Centrale de Fontainebleau, et eut la chance d’avoir un enseignant aimable et sympathique, M. Billy, qui, quand il s’aperçut rapidement que son élève dépassait son maître, se dévoua pour apprendre les branches plus difficiles afin de le suivre et le supporter, et prédit sa célébrité à venir en utilisant ces vers de Jean de La Fontaine:

"Petit Poisson deviendra grand

Pourvu que Dieu lui prête vie."

En 1798 il entre à l’École Polytechnique à Paris et immédiatement il attire l’attention des professeurs qui le laissent suivre ses cours comme il le souhaite. Deux ans plus tard il publie deux mémoires, l’un sur la méthode d’élimination d’Étienne Bézout, l’autre sur le nombre des intégrales d’une équation de différences finies. Ce dernier fut examiné par Sylvestre François Lacroix et Adrien-Marie Legendre, qui recommandèrent qu’il soit publié dans le Recueil des savants étrangers, un honneur exceptionel pour un jeune de dix-huit ans. Ce succès procura instantanément à Poisson une entrée dans les cercles scientifiques. Joseph Louis de Lagrange, dont il assista aux lectures sur la théorie des fonctions, reconnut son talent et devint son ami; tandis que Laplace le considérait presque comme son fils. Le reste de sa carrière fut consacré à l’enseignement et à publier de nombreuses recherches.

Dès qu’il obtint son diplome de l’École Polytechnique il y fut nommé répétiteur et il était fréquent qu’il soit chargé d’expliquer les problèmes les plus ardus. Il devint professeur suppléant en 1802 puis complet en 1806 succédant à Jean-Baptiste Joseph Fourier qui alla à Grenoble. En 1808 il devint astronome au bureau des Longitudes; et quand la Faculté des Sciences fut instituée en 1809 il y fut nommé professeur de mécanique rationnelle. En 1812 il est membre de l’Institut. En 1815 il est examinateur à l’École militaire de Saint-Cyr. L’année suivante il cesse d’être répétiteur à l’École Polytechnique. Il est conseiller à l’université en 1820 et géomètre au bureau des longitudes en remplacement de Laplace en 1827.

En 1817 il épouse Nancy de Bardi. Pendant le premier empire Poisson adhéra au principe familial de la république et refusa de prêter serment à Napoléon. Il devint un légitimiste pendant la restauration et il fut même difficile de le convaincre de ne pas militer politiquement. Il fut élevé à la dignité de baron en 1821 mais il n’utilisa jamais ce titre. Après la révolution de 1830 il faillit perdre cet honneur mais grâce à François Arago il obtint une invitation à dîner au Palais Royal où il fut chaleureusement accueilli par le roi citoyen qui se “souvenait” de lui. Sept années plus tard il est fait pair de France comme représentant de la science française. La Royal Society lui décerne la médaille Copley en 1832.

Son œuvre est immense et touche à beaucoup des branches des mathématiques. Sa contribution la plus essentielle concerne l’électricité et le magnétisme qu’il contribua à fonder mais il eut également une influence en astronomie, notamment sur l’attraction des planètes:

sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes ;
sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique ;
sur la mouvement de la terre autour de son centre de gravité ;
sur la théorie des variations des éléments des planètes, et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites.

Sa correction célèbre de l’équation différentielle de Laplace au second degré pour le potentiel:

$\nabla^2 \phi = - 4 \pi \rho \; ,$

de nos jours appellée l’équation de Poisson ou l’équation de la théorie du potentiel publiée en 1813. Si une fonction d’un point donné ρ = 0, nous obtenons l’équation de Laplace:

$\nabla^2 \phi = 0 \; .$

En 1812 Poisson découvrit que cette équation n’est valide qu'hors d’un solide. Une preuve rigoureuse pour les masses avec une densité variable fut d’abord donnée par Carl Friedrich Gauss en 1839. Les deux équations ont leurs équivalents en analyse vectorielle. L’étude des champs scalaires φ d’une divergence donne:

$\nabla^2 \phi = \rho (x, y, z) \; .$

Par exemple une équation de Poisson pour un potentiel électrique en surface Ψ, qui montre sa dépendance de la densité d’une charge électrique ρ_e dans une place particulière:

$\nabla^2 \Psi = {\partial ^2 \Psi\over \partial x^2 } + {\partial ^2 \Psi\over \partial y^2 } + {\partial ^2 \Psi\over \partial z^2 } = - {\rho_{e} \over \varepsilon \varepsilon_{0}} \; .$

La distribution d’une charge dans un fluide est inconnue et nous devons utiliser l’équation Poisson-Boltzmann:

$\nabla^2 \Psi = {n_{0} e \over \varepsilon \varepsilon_{0}} \left( e^{e\Psi (x,y,z)\over k_{B}T} - e^{e\Psi (x,y,z)\over k_{B}T} \right) \; ,$

ce qui dans la plupart des cas ne peut être résolu analytiquement mais seulement pour des situations particulières. Dans les coordonnées polaires l’équation Poisson-Boltzmann est:

${1\over r^{2}} {d\over dr} \left( r^{2} {d\Psi \over dr} \right) = {n_{0} e \over \varepsilon \varepsilon_{0}} \left( e^{e\Psi (r)\over k_{B}T} - e^{e\Psi (r)\over k_{B}T} \right) \; ,$

laquelle ne peut pas non plus être résolue analytiquement. Si un corps φ n’est pas un scalaire l’équation de Poisson est valide, comme elle peut l’être par exemple dans un espace de Minkowski à quatre dimensions:

$\square \phi_{ik} = \rho (x, y, z, ct) \; .$

Si ρ(x, y, z) est une fonction continue et si pour r→∞ (ou si un point 'se déplace' à l’infini) une fonction φ va à 0 suffisamment rapidement, une solution à l’équation de Poisson est le potentiel newtonien d’une fonction ρ(x, y, z):

$\phi_M = - {1\over 4 \pi} \int {\rho (x, y, z) dv \over r} \; ,$

où r est une distance entre l’élement avec le volume dv et le point M. L’intégration parcourt la totalité de l’espace. L’intégrale de Poisson en résolvant la fonction de Green pour le problème Dirichlet de l’équation de Laplace, si le cercle est le domaine étudié:

$\phi(\xi \eta) = {1\over 4 \pi} \int _0^{2\pi} {R^2 - \rho^2\over R^2 + \rho^2 - 2R \rho \cos (\psi - \chi) } \phi (\chi) d \chi \; ,$

où:

$\xi = \rho \cos \psi \; , \quad \eta = \rho \sin \psi \; .$

φ(χ) est une fonction prescrite sur une ligne circulaire, qui définit les conditions liantes de la fonction requise φ de l’équation de Laplace. De la même manière nous définissons la fonction de Green pour le problème de Dirichlet pour l’équation de Laplace Image manquante
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² φ = 0 dans l’espace, si nous regardons au domaine enquêté d’une sphère avec un radius R. Cette fois la fonction de Green est:

$G(x,y,z;\xi,\eta,\zeta) = {1\over r} - {R\over r_1 \rho} \; ,$

où: $\rho = \sqrt {\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2}$ est une distance d’un point (ξ, η, ζ) depuis le centre d’une sphère, r une distance entre des points (x, y, z), (ξ, η, ζ), r₁ est une distance entre le point (x, y, z) et le point (Rξ/ρ, Rη/ρ, Rζ/ρ), symmetrique au point (ξ, η, ζ). L’intégrale de Poisson est maintenant de la forme:

$\phi(\xi, \eta, \zeta) = {1\over 4 \pi} \int\!\!\!\int_S {R^2 - \rho^2 \over R r^3} \phi ds \; .$

Les deux mémoires sur le sujet de Poisson sont Sur l'attraction des sphéroides (Connaiss. ft. temps, 1829), et Sur l'attraction d'un ellipsoïde homogène (Mim. ft. l'acad., 1835). En conclusion de notre sélection sur ses présentations de physique nous pouvons mentionner celle sur la théorie des ondes (Mém. ft. l'acad., 1825).

En mathématique pure ses travaux les plus important sont la série sur les intégrales définies et sa discussion sur les séries de Fourier, qui préparèrent le terrain des recherches classiques de Peter Gustav Lejeune Dirichlet et Bernhard Riemann sur le même sujet; elles peuvent être trouvées dans le Journal de l’École Polytechnique de 1813 à 1823, et dans ses Mémoires de l'académie pour 1823. Il étudia aussi les intégrales de Fourier. Nous pouvons aussi mentionner son essai sur le calcul des variations (Mem. de l'acad., 1833), et ses mémoires sur la probabilité des moindres résultats des observations (Connaiss. d. temps, 1827, &c). La distribution de Poisson dans la théorie des probabilités porte son nom.

Dans son Traité de mécanique (2 vols. 8vo, 1811 arid 1833), qui fut écrit dans les styles de Laplace et Lagrange et longtemps la référence il montra de nouvelles prises comme une utilisation explicite de coordonées impulsives:

$p_i = {\partial T\over {\partial q_i\over \partial t}} \; ,$

qui influencèrent les travaux de William Hamilton et Carl Jacobi.

En plus de ses mémoires Poisson publia plusieurs traités, dont la plupart devaient former une partie d’une grande œuvre sur la physique mathématique mais il ne vécut pas pour la finir. Parmi ceux-ci mentionnons:

Théorie nouvelle de l'action capillaire (4to, 1831);
Théorie mathématique de la chaleur (4to, 1835);
Supplément au même (4to, 1837);
Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (4to, 1837), tous publiés à Paris.

En 1815 Poisson mena des intégrations le long des chemins d’un plan complexe. En 1831 indépendamment de Claude Navier il dériva les équations de Navier-Stokes.

sa devise: La vie c'est le travail.

Voir aussi

équation de Poisson triée
noyau de Poisson
formule de somme de Poisson

Catégories: Mathématicien

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