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Spectre d'anneau

Le spectre d'anneau est très utilisé en géométrie algébrique, où il sert d'espace de base pour la construction des schémas.

Définition ensembliste

Le spectre d'un anneau est l'ensemble de ses idéaux premiers. On le note .

En général, on suppose que est commutatif et unitaire.

Topologie de Zariski

Définition

A tout idéal de , on associe , qui est l'ensemble des idéaux premiers de qui contiennent . Cette famille contient tout entier (), l'ensemble vide (), et est stable par union finie et intersection quelconque. Elle forme donc les fermés d'une topologie sur , que l'on appelle topologie de Zariski.

Point générique

Si est intègre, alors on voit que l'idéal nul est dense: c'est un point générique.

Notion de séparation

Faisceau structural

Exemples

• , est du point de vue ensembliste, l'ensemble des nombres premiers, qui correspondent aux idéaux , et le point , qui correspond à l'idéal nul. Ce dernier est générique.