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Spectre d'ondes planes

Introduction

La décomposition d'une onde de forme quelconque sur une base d'ondes planes est une opération usuelle dans différents domaines de la physique, par exemple en optique ou en mécanique quantique.

Dans certaines géométries de sources, il est fait appel au principe de Huygens pour obtenir le champ à longue, ou très longue distance : une surface d'onde donnée est considérée comme sources d'ondes sphériques dont la combinaison fournira le champ à l'endroit voulu.

La méthode du spectre d'ondes planes procède d'une tout autre manière, sans nécessité d'appel à un principe supplémentaire. Elle apparaît singulièrement efficace si le champ source, à propager, est connu dans un plan.

Une simple transformée de Fourier bidimensionelle mène à l'obtention d'une expression analytique valable en tout point de l'espace tridimensionnel. On retrouve ainsi en quelques lignes de calcul les approximations usuelles de Fresnel, ou de Fraunhoffer, mais en plus, l'expression obtenue est bonne pour le champ proche, ce que ne donne pas l'approche utilisant le principe de Huygens.

La méthode peut être appliquée dans de nombreux cas, où la source est effectivement plane. Par exemple dans le cas d'une fente source dans un écran plat ; en première approximation le champ incident sur l'écran est découpé à l'emporte pièce, ce qui est usuellement fait. En dehors de cette difficulté, qui a son importance, le calcul est valide, pour chaque composante du champ vectoriel, s'il y a lieu, et, ce, à toute distance.

Aperçu mathématique

On appliquera la méthode à un champ monochromatique f (de pulsation ) satisfaisant à une équation de Helmholtz (une adaptation peut-être facilement réalisée pour l'équation de Schrödinger, ou autres équations de propagation, ou de diffusion :

Par hypothèse le champ f(x,y,z) est connu dans le plan , plan sur lequel on évalue la transformée de Fourier :

$F(q_{x},q_{y},0)=\frac{1}{2\pi}\int\int dxdy\;\exp(-i(q_{x}x+q_{y}y))\;f(x,y,0)$ .

La transformée de Fourier du champ dans un plan situé à une côte z est alors tout simplement :

$F(q_{x},q_{y},z)=F(q_{x},q_{y},0)\;\exp(iz\sqrt{k_{2}-q_{x}^{2}-q_{y}^{2}})$ .

Ainsi obtient-on, dans le plan z quelconque, le champ f(x,y,z) par une simple transformation de Fourier inverse :

$f(x,y,z)=\frac{1}{2\pi}\int\int dq_{x}dq_{y}\;\exp(i(q_{x}x+q_{y}y))\;F(q_{x},q_{y},z)$ ,

qui est la solution exacte.

On voit sur cette expression que les hautes fréquences spatiales ( $q_{x}^{2}-q_{y}^{2}>k_{2}$ ) vont mener à une décroissance exponentielle pour l'argument de l'intégrale. Ces hautes fréquences spatiales, caractérisant des détails fins du plan source qui ne seront donc visibles qu'en champ proche.

A l'opposé, à longue distance, la participation de ces hautes fréquences spatiales devient négligeable et les approximations convenables mènent aux formules de Fresnel, à longue distance, facteur d'obliquité inclus, et à celle de Fraunhoffer, à très longue distance.

Par exemple, dans le cas de l'approximation de Fraunhoffer, l'on trouve :

$f(x,y,z)=-i\frac{k}{(2\pi)^{2}z}\;\exp(ikz)\;F(kx/z,ky/z,0)$ ,

l'amplitude en x,y,z est proportionnelle à la transformée de Fourier en z = 0 pour le vecteur d'onde .

Catégories: Physique | Optique

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