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Sphère de Riemann

La sphère de Riemann est un objet classique des mathématiques; intuitivement, c'est une sphère de dimension 2, donc une surface.

On la note souvent $\mathbb P^1(\mathbb C)$ ; en effet, la façon usuelle de la construire est comme espace projectif de dimension 1 sur $\mathbb C$ (donc bien de dimension 2 sur $\mathbb R$ !). On peut voir la sphère comme $\mathbb C$ auquel on a rajouté un point, $\infty$ .

--- parler de la projection stéréographique ---

Homographies

On peut faire agir une matrice de $GL_2(\mathbb C)$ sur la sphère; la matrice agit sur $z\in\mathbb P^1(\mathbb C)$ ainsi:

si $z\in\mathbb C$ et $bz+d\neq0$ , on lui associe $\frac{az+c}{bz+d}$
si $z\in\mathbb C$ et $bz+d\neq0$ , on lui associe $\infty$
si $z=\infty$ et , on lui associe $\infty$
si $z=\infty$ et $b\neq0$ , on lui associe $\frac{a}{b}$

Une homographie est la bijection de la sphère de Riemann induite par l'action d'une matrice (on identifie souvent les deux); c'est même une fonction méromorphe.

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