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Calcul stochastique

Le calcul stochastique est l'étude des phénomènes aléatoires dépendants du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités. Les applications du calcul stochatique comprennent la mécanique quantique, la chimie, les mathématiques financières.

Processus aléatoires

Un processus aléatoire est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de R ou N, souvent assimilé au temps. C'est donc une fonction de deux variables: le temps et l'état du monde . L'ensemble des états du monde est traditionnellement noté L'application qui à associe est appelée trajectoire du processus. Le mouvement brownien est un exemple particulièrement simple de processus aléatoire indexé par R. Il peut être défini comme l'unique processus à accroissement gaussien tel que la corrélation entre et soit . On peut également le voir comme la limite de la marche de l'ivrogne lorsque le pas de temps tend vers zéro.

Filtrations

Une Filtration est une famille de sous-tribus emboitées de , qui peut s'interprêter comme l'information disponible qui évolue au cours du temps. à compléter

Espérance conditonnelle selon une filtration

Processus d'Itô

"à écrire"

Processus usuels

Martingales exponentielles

Processus d'Orstein-Uhlenbeck

Intégrale de Wiener et intégrale Stochastique

"à écrire"

Lemme d'Itô

Equations différentielles stochastiques

Une équation différentielle stochastique (EDS) est la donnée d'une équation du type , où est un processus aléatoire inconnu, que l'on appelle communément équation de diffusion. Intégrer l'EDS, c'est trouver l'ensemble des processus vérifiant la diffusion.

Problèmes de contrôle optimal

Méthodes de simulation

Méthode de Monte Carlo

Simulation par arbres recombinants